Приложение П.4. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МАТРИЦ

Определения. Матрицей размером называют таблицу чисел, состоящую из строк и столбцов; индекс указывает помер строки, а индекс номер столбца. Числа (элементы) матрицы могут быть вещественными или комплексными. Рассмотрим матрицу с вещественными элементами:

Матрицу размером называют матрицей-столбцом или вектором столбцом:

Если то матрицу называют квадратной. О том случае, когда при любых имеем диагональную матрицу. Диагональную матрицу, в котором называют единичной:

Матрицу произвольных размеров, все элементы которой равны нулю, называют нулевой.

Еслн существует матрица размером то матрицу размером «Хот называют транспонированной по отношению матрицы А.

Матрицу считают симметричной, если и кососимметричной, если

Сумму всех днагоиальцых элементов квадратной матрицы называют следом матрицы:

Сложение и умножение матриц. Матрицы одинаковых размеров можно складывать. Элементы матрицы Равенство означает, что

Умножение матрицы на число а означает, что все элементы матрицы умножаются на а.

Умножение матрицы А размером на матрицу В размером позволяет получить матрицу С размером элементы которой

Таким образом, перемножить можно матрицы, если число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго. Для умножения матриц не справедлив коммутативный закон, т. е.

Произведение матрицы А размером на вектор-столбец X размером дает вектор-столбец размером элементы которого

Произведение вектора-столбца X размером на вектор-строку размером позволяет получить квадратную матрицу размером

Произведение вектора-строки размером на вектор-столбец X размером называют скалярным произведением:

Если то матрицы называют перестановочными. При транспонировании матриц имеем

Определители и обратная матрица. Если А — квадратная матрица размером то ее определителем считают величину при любом где алгебраическое дополнение элемента. Здесь минор элемента т.е. определитель квадратной матрицы, получаемой из матрицы А вычеркиванием I строки и столбца.

Матрицу А называют невырожденной несигну лярной), если ее определитель не равен нулю, в противном случае матрицу А называют вырожденной (сингулярной).

Любая невырожденная матрица имеет обратную, которая вычисляется по формуле

Для матрицы второго порядка

имеем

Таким образом, обратная матрица

Действительную квадратную матрицу удовлетворяющую условию называют ортогональной, определитель ортогональной матрицы

Квадратичные формы. Если А — вещественная симметричная матрица, вектор-столбец, то называют квадратичной формой с матрицей преобразования А.

Квадратичная форма считается положительно определенной или отрицательно определенной, если соответственно

причем

Квадратичная форма положительно определена, если все главные миноры матрицы А положительны, т. е.