§ 10.10. ЦИФРОВЫЕ КОРРЕКТИРУЮЩИЕ УСТРОЙСТВА

После определения передаточных функций корректирующих устройств следующим этапом синтеза

цифровой системы является их техническая реализация. Для этого используются следующие методы:

1) метод программирования, применяемый в системах с ЦВМ. Реализация корректирующего устройства сводится к составлению программы по его разностному уравнению;

2) метод, базирующийся на использовании цифровых фильтров, реализуемых на элементах цифровой техники по алгоритму, определяемому разностным уравнением корректирующего устройства.

В зависимости от вида представления передаточной функции цифрового фильтра различают формы его структурных схем. Рассмотрим основные из них.

Передаточную функцию цифрового фильтра запишем в виде

где -преобразования выходного и входного сигналов фильтра.

Рис. 10.19. Прямая форма цифрового фильтра Из последнего выражения следует, что

На рис. 10.19 в соответствии с (10.81) для построена структурная схема фильтра, называемая прямой формой цифрового фильтра. Для реализации такого фильтра требуется 21 линий задержки.

Запишем уравнение (10.80) следующим образом:

где -преобразование промежуточной переменной.

Рис. 10.20. Каноническая форма цифрового фильтра

Уравнениям (10.82) и (10.83) соответствует структурная схема фильтра, показанная на рис. 10.20. Для создания такого фильтра требуется I линий задержек, т.е. в два раза меньше, чем при прямой форме фильтра. Структурные схемы цифровых фильтров, число элементов которых равно порядку передаточной функции, называют каноническими. Помимо рассмотренной канонической структуры существуют и другие: последовательная и параллельная.

Для определения последовательной канонической структуры цифрового фильтра необходимо найти нули и полюсы фильтра. При этом выражение (10.80) можно записать в виде

Таким образом, цифровой фильтр состоит из последовательного соединения цифровых фильтров первого

порядка, соответствующих вещественным полюсам (рис. 10.21,а), и фильтров второго порядка, соответствующих паре комплексно-сопряженных полюсов (рис. 10.21,б). Представление передаточной функции в виде (10.84) называют последовательным программированием, а структуру фильтра — последовательной канонической формой.

Рис. 10.21. Каноническая форма цифровогофильтра: а — первого порядка; б - второго порядка

Представление передаточной функции цифрового фильтра в виде

называют параллельным программированием. Цифровой фильтр в этом случае представляет собой параллельное соединение фильтров первого и второго порядков. Такую структуру называют параллельной канонической формой. На практике преимущественно используются последовательные и параллельные канонические формы цифровых фильтров, так как они более удобны

для технической реализации и обеспечивают по сравнению с прямой формой более высокую точность.

Рассмотрим ошибки цифровых фильтров, основными из которых являются следующие:

1) ошибки из-за квантования входных сигналов по уровню;

2) ошибки из-за округления результатов арифметических операций;

3) ошибки из-за округления коэффициентов передаточных функций фильтров при их реализации.

Методы анализа ошибок цифровых фильтров базируются на следующих предпосылках:

1) ошибки из-за квантования входных сигналов по уровню распределены равномерно в диапазоне от —0,57 до где шаг квантования;

2) составляющие ошибки цифрового фильтра от выборки к выборке статистически независимы;

3) шаг квантования сигналов мал по сравнению с квантуемыми сигналами.

Рис. 10.22. Плотность распределения вероятности ошибки квантования по уровню

При таких предположениях плотность распределения вероятности ошибки квантования (рис. 10.22)

где ошибка (шум) квантования.

Математическое ожидание и дисперсия ошибки квантования следующие:

Из принятых допущений следует, что ошибка квантования является белым шумом с дисперсией, равной (10.85). Этот шум приводит к появлению ошибки, дисперсия которой на основании выражения (10.64) определяется по формуле

где -частотная характеристика цифрового фильтра относительно псевдочастоты.

Очевидно, что средняя квадратическая ошибка цифрового фильтра из-за квантования входного сигнала не зависит от структурной схемы фильтра, а определяется только его передаточной функцией.

Пример 10.13. Найти ошибку из-за квантования входного сигнала по уровню в цифровом фильтре с передаточной функцией

Решение. Относительно псевдочастоты передаточная функция фильтра имеет вид

Используя выражение (10.86) и формулу, приведенную в приложении для вычислим ошибку из-за квантования входного сигнала по уровню:

Из этого выражения следует, что при полюсе фильтра близком к единице, дисперсия ошибки из-за квантования входного сигнала по уровню может быть значительной.

Проанализируем ошибку, возникающую из-за округления результатов арифметических операций в цифровом фильтре. Основное влияние на точность фильтра оказывает округление результатов умножения. Действительно, если перемножается два числа меньше единицы, каждое из которых имеет а разрядов, то их произведение содержит 2а разрядов. Из-за ограниченного числа разрядов фильтра младшие разряды отбрасываются и результат округляется. Так как ошибки округления в различные моменты времени не зависят друг от друга, то для их определения необходимо в узлы фильтра, в которых производится округление, ввести источники белого шума с интенсивностью (10.85). Различным структурным схемам цифровых фильтров соответствуют различные точки введения белого шума, поэтому ошибка

из-за округления операции умножения зависит от выбранной структуры фильтра. На рис. 10.23 показана последовательная каноническая форма фильтра с передаточной функцией

где полюсы фильтра.

Рис. 10.23. К оценке средней квадратической ошибки канонического фильтра последовательной формы

Составляющие дисперсии ошибок из-за округления результатов умножения на значение полюса

на значение полюса

на коэффициент

Дисперсия суммарной ошибки из-за округления результатов умножения в цифровом фильтре с передаточной функцией (10.87)

Представим передаточную функцию фильтра в виде

где постоянные коэффициенты.

На рис. 10.24 изображена структурная схема фильтра, соответствующая передахочной функции (10.88),

Составляющие ошибок округления результатов умножения входного сигнала на коэффициент

на значение полюса

Рис. 10.24. К оценке средней квадратической ошибки цифрового фильтра параллельной формы

Аналогично для второй части структурной схемы найдем, что

Дисперсия суммарной ошибки из-за округления результатов умноженияв цифровом фильтре, выполненного по параллельной канонической форме

Отметим, если коэффициенты умножить на сигналы то дисперсия из-за

округления операций умножения

т. е. меньше значения (10.89). Это обстоятельство нужно учитывать при технической реализации цифровых фильтров.

Третьим видом ошибок в цифровых фильтрах является округление коэффициентов передаточной функции фильтров, связанное с ограниченным числом разрядов регистров фильтра, в результате чего коэффициенты передаточной функции оказываются отличными от расчетных. Это ведет к изменению полюсов фильтра, что и является причиной возникновения ошибок. Небольшую чувствительность изменению значений полюсов имеют фильтры, выполненные по прямой форме, причем степень чувствительности возрастает по мере роста порядка передаточной функции фильтра. По этим причинам цифровые фильтры следует выполнять по последовательной или параллельной канонической форме.