§ 6.3. ЧАСТОТНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА

Частотные показатели качества работы систем РА определяются по АЧХ замкнутой системы (рис. 6.3).

Рис. 6.2. К определению параметров переходного процесса в системе ФАПЧ

Рис. 6.3. АЧХ замкнутой системы

Нетрудно установить, что значение этой характеристики при частоте, равной нулю, равно единице в астатических системах и в статических системах РА. Для удобства АЧХ статических систем нормируется, т. е. ее значения делятся на ее начальное значение; в этом случае АЧХ статических систем начинается с единицы.

К частотным показателям качества работы систем РА относятся следующие параметры:

1) полоса пропускания диапазон частот, в котором АЧХ больше или равна единице. Если АЧХ замкнутой системы РА во всем диапазоне частот меньше

единицы, то полоса пропускания отсчитывается по уровню 0,7;

2) резонансная частота сор — частота, соответствующая максимуму АЧХ замкнутой системы, эта частота характеризует частоту колебаний в переходном процессе;

3) показатель колебательности максимальное значение АЧХ замкнутой системы. Обычно стремятся, чтобы показатель колебательности не превышал двух.

Рассмотрим некоторые приближенные соотношения, устанавливающие связь между параметрами частотных характеристик замкнутой и разомкнутой систем, которые позволяют оценить частотные показатели качества работы системы РА без построения АЧХ замкнутых систем.

Частотные характеристики замкнутой и разомкнутой систем связаны соотношением

где и ФЧХ разомкнутой системы.

Из последнего выражения находим, что

или при

Из уравнений (6.3) и (6.4) следует, что в диапазоне частот, в котором равна единице, а ФЧХ мало отличается от нуля. В диапазоне частот, в котором характеристики совпадают с характеристиками разомкнутой системы.

На частоте, равной полосе пропускания, АЧХ замкнутой системы равна единице. Тогда, согласно (6.4),

В диапазоне частот среза и пропускания логарифмическая АЧХ разомкнутой системы имеет наклон -20 дБ/дек. Поэтому ФЧХ в этом диапазоне частот изменяется незначительно и можно принять, что Тогда выражение (6.5) принимает вид

Полоса пропускания и частота среза связаны соотношением

Отсюда

Значение показателя колебательности системы РА можно определить, если исследбвать на максимум выражение (6.4). В диапазоне частот, в котором расположена резонансная частота, ФЧХ разомкнутой системы изменяется незначительно и приблизительно равна этой характеристике на частоте среза. Поэтому для отыскания максимума (6.4) можно продифференцировать это выражение по и приравнять его нулю. В результате получим, что максимум АЧХ замкнутой системы получается при Подставив это выражение в (6.4), найдем, что колебательность системы связана с запасом устойчивости по фазе выражением

Пример 6.2. Оценить частотные показатели качества работы системы, частотная характеристика которой в разомкнутом состоянии

Решение. На рис. 6.4 построены ЛЧХ разомкнутой и замкнутой систем. Из этих характеристик видно, что запас устойчивости по фазе равен 0,89 рад; Оценка показателей по формулам (6.6) и (6.7) позволяет получить следующие результаты: т. е. оценка параметров АЧХ по этим формулам обеспечивает достаточную для практики точность,