ГЛАВА 12. АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ РАДИОАВТОМАТИКИ

§ 12.1. ОСОБЕННОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Строго говоря, линейных систем РА не существует, так как характеристики реальных устройств нелинейные и некоторые из них не могут быть линеаризованы, например характеристика релейного элемента. При больших отклонениях сигналов от установившихся значений приходится учитывать нелинейные свойства и элементов систем РА, допускающих линеаризацию. В этих случаях процессы в системах РА описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, что существенно усложняет их анализ.

В системах РА встречаются устройства с различными нелинейными характеристиками ограничения, зоны нечувствительности, люфтов в механических передачах. Нелинейными являются дискриминационные характеристики различных систем автоматической подстройки частоты и пелеигационные системы автоматического сопровождения цели РЛС.

При составлении дифференциальных уравнений нелинейных систем РА сначала составляют дифференциальные уравнения для каждого устройства системы. При этом характеристики устройств, допускающих линеаризацию, линеаризуются. В результате получают систему дифференциальных уравнений, в которой одно или несколько уравнений нелинейные. Устройства, допускающие линеаризацию, образуют линейную часть системы РА, а устройства, которые не могут быть линеаризованы, составляют нелинейную часть.

Во многих системах РА нелинейные устройства можно представить как статические, зависимость выходного сигнала от входного в которых описывается линейной зависимостью вида

Встречаются случаи, когда линейные устройства описываются дифференциальными уравнениями вида

Характерной особенностью нелинейных систем является возможность возникновения в них автоколебаний. Исследование условий возникновения автоколебаний, их устойчивости и параметров (амплитуды и частоты)

является одной из задач анализа нелинейных систем. В системах РА с дискриминационными характеристиками приходится оценивать условия, при которых наступает срыв слежения.

В настоящее время не создано общей теории анализа нелинейных систем автоматики. Разработанные методы позволяют решать лишь отдельные нелинейные задачи. Рассмотрим основные методы анализа нелинейных систем автоматики: 1) метод фазовой плоскости; 2) метод кусочно-линейной аппроксимации; 3) метод гармонической линеаризации; 4) метод статистической линеаризации; 5) метод моделирования.

Метод фазовой плоскости применяется для анализа нелинейных систем, порядок которых не выше второго. На плоскости с координатами где ошибка системы или какой-либо другой сигнал, строится траектория движения системы. Плоскость и траекторию движения систем называют фазовыми. По характеру фазовой траектории оценивается качество работы системы.

Метод кусочно-линейной аппроксимации используется в том случае, когда нелинейная часть системы безынерционна и ее характеристика может быть аппроксимирована прямолинейными участками. На каждом таком участке процессы в системе описываются линейными дифференциальными уравнениями, решение которых может быть найдено. В точках излома нелинейной характеристики решения «сшиваются»: значения переменных в конце данного участка принимаются за начальные условия для последующего участка. Таким образом удается построить фазовую траекторию движения системы. При большом числе аппроксимированных участков нелинейной характеристики и дифференциальных уравнениях линейной части выше второго порядка вычисления фазовой траектории становятся громоздкими.

Метод гармонической линеаризации базируется на замене нелинейного элемента линейным звеном, параметры которого определяются при синусоидальном входном сигнале из условия равенства амплитуд первых гармоник на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного звена. Данный метод может быть использован в том случае, когда линейная часть системы является низкочастотным фильтром, т. е. отфильтровывает все возникающие на выходе нелинейного звена гармонические составляющие, кроме первой гармоники.

Метод статистической линеаризации является приближенным и применим для систем произвольного порядка. Он основан на замене нелинейного элемента линейным звеном, коэффициенты передачи которого по математическому ожиданию и случайной составляющей сигнала на входе нелинейного элемента определяются из условия статистической эквивалентности нелинейного звена линейному звену.

Метод моделирования основан на использовании для анализа нелинейных систем РА различных вычислительных машин. Этот метод не накладывает ограничений на порядок исследуемых систем ипозволяет оценить качество систем при большом наборе начальных условий и различных видах входных сигналов и помех.

В инженерной практике для анализа нелинейных систем РА применяются методы гармонической и статистической линеаризации. Эти методы являются приближенными. Для анализа систем РА, порядок которых не выше второго, также используется метод, основанный на теории марковских случайных процессов, позволяющий получить точное решение.