§ 12.3. УРАВНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

Ранее отмечалось, что при исследовании нелинейных систем РА обычно удается представить систему в виде последовательного соединения двух частей: линейной и нелинейной (рис. 12.7). Запишем передаточную функцию линейной части в виде

Принимая во внимание уравнение (12.3), уравнение

нелинейной системы можно записать так:

В этом выражении не учтены высшие гармоники. Это сделано не случайно и не потому, что они малы. Дело в том, что если в отдельном нелинейном звене при подаче на его вход синусоидального сигнала в выходном сигнале всегда имеются высшие гармоники, то при включении нелинейного звена в замкнутый контур системы из-за фильтрующих свойств линейной части системы высшими гармониками на входе нелинейного звена можно пренебречь.

Если в замкнутой нелинейной системе РА возникают автоколебания с постоянной амплитудой и частотой, то коэффициенты гармонической линеаризации оказываются постоянными, а вся система стационарной. Незатухающие колебания в замкнутых системах, как показано в гл. 5, возникают в том случае, когда характеристическое уравнение системы содержит пару мнимых сопряженных корней. Потому для оценки возможности возникновения в нелинейной системе автоколебаний необходимо в гармонически линеаризованное характеристическое уравнение системы вместо подставить . В результате получают уравнение, коэффициенты которого зависят от амплитуды и частоты предполагаемого автоколебательного режима. Если это уравнение удовлетворяется при действительных значениях амплитуды автоколебаний и частоты сок, то в исследуемой системе могут возникнуть автоколебания с амплитудой и частотой устойчивость существования которых необходимо дополнительно оценить.

Таким образом, для оценки возможности возникновения автоколебаний в нелинейной системе методом гармонической линеаризации необходимо найти условия границы устойчивости, как это делалось при анализе устойчивости линейных систем РА.

Характеристическое уравнение гармонически линеаризованной линейной системы имеет вид (12.7). Подставив в него получим

Выделив в последнем выражении вещественную и мнимую части, найдем уравнение

Если при таких значениях выражение (12.8) удовлетворяется, то в системе возможен автоколебательный режим, параметры которого рассчитываем по следующей системе уравнений:

Из формул (12.9) можно найти зависимость амплитуды и частоты автоколебаний от параметров системы, на. пример от коэффициента усиления линейной части системы. Для этого необходимо в уравнениях (12.9) коэффициент усиления считать переменной величиной, т. е. эти уравнения записать в таком виде:

По графикам можно выбрать коэффициент усиления, при котором амплитуда и частота возможных автоколебаний имеют допустимые значения или вообще отсутствуют.