§ 12.5. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

Для оценки статистических характеристик нелинейных систем РА можно использовать метод статистической линеаризации, основанный на замене нелинейной характеристики линейной, которая в известном смысле статистически равноценна исходной нелинейной характеристике. Для приближенной оценки, когда оперируют моментами первого и второго порядка (математическим ожиданием и дисперсией), можно считать статистически равноценными характеристики, имеющие равные значения этих моментов при заданном законе распределения входного сигнала.

Заменим нелинейную зависимость линейной характеристикой

которая имеет такие же математические ожидания и дисперсию, какие имеются на выходе нелинейного звена с характеристикой . С этой целью представим (12.15) в виде

где центрированная случайная функция.

Выберем коэффициенты такими, чтобы

где математические ожидания сигналов; дисперсии сигналов.

Из выражений (12.16) следует, что статистическая равноценность имеет место, если

причем знак должен совпадать со знаком производной нелинейной характеристики

Величины называют коэффициентами статистической линеаризации. Для их вычисления нужно знать математическое ожидание и дисперсию сигнала на

выходе нелинейного звена:

где плотность вероятности распределения случайного сигнала на входе нелинейного звена.

Рассмотренный метод статистической линеаризации не всегда является наилучшим, поэтому целесообразно статистическую линеаризацию выполнить из условия наилучшего приближения корреляционной функции сигнала на выходе нелинейного звена к корреляционной функции на выходе линейного звена. С этой целью определим коэффициенты статистической линеаризации с учетом того, чтобы дисперсия отклонения сигнала на выходе нелинейного звена, определяемая выражением

была минимальной. Приравняв иулю производные от последнего выражения по запишем уравнения

Следовательно, в этом случае коэффициенты статистической линеаризации вычисляют по формулам

Таким образом, статистическая линеаризация из условия минимума дисперсии ошибки дает то же значение коэффициента которое было найдено при первом способе линеаризации; коэффициент линеаризации относительно случайной составляющей имеет другое значение. Рекомендуется брать их среднее арифметическое значение:

Обратим внимание, что коэффициенты статистической линеаризации зависят от математического ожидания

и дисперсии сигнала на входе нелинейного звена (в этом заключается существенное отличие статистической линеаризации от обычной).

Коэффициенты статистической линеаризации, как следует из выражений (12.17) — (12.19), зависят не только от характеристик нелинейного звена, но и от закона распределения сигнала на его входе. Во многих практических случаях закон распределения этой случайной величины может быть принят гауссовским. Это объясняется тем, что нелинейные звенья в системах РА соединяются последовательно с линейными инерционными элементами, законы распределения выходных сигналов которых близки к гауссовским при любых законах распределения их входных сигналов. Чем более инерционна система, тем ближе закон распределения сигнала на выходе к гауссовскому, т. е. инерционные устройства системы приводят к восстановлению гауссовского распределения, нарушаемого нелинейными звеньями. Кроме того, изменение закона распределения в широких пределах мало влияет на коэффициенты статистической линеаризации. Поэтому полагают, что сигналы на входе нелинейных звеньев распределены по гауссовскому закону, При этом коэффициенты зависят только от математического ожидания и дисперсии сигнала на входе нелинейного звена, поэтому для типовых нелинейных характеристик коэффициенты могут быть заранее вычислены, что существенно упрощает расчеты систем методом статистической линеаризации.

Пример 12.1. Определить коэффициенты статистической линеаризации для дискриминатора с синусоидальной характеристикой

Решение. В соответствии с выражениями (12.17) и

На рис. 12.10,а,б изображены зависимости, вычисленные по формулам (12.20) для из которых видно, что увеличение дисперсии входного сигнала приводит к уменьшению коэффициентов статистической линеаризации; при большом уровне помех их значения близки к нулю.

Зависимости (12.20) приближенно справедливы и для дискрит минатора с характеристикой

Выражение (12.21) часто используется для аппроксимации дискриминационных характеристик при анализе систем автоматического сопровождения цели РЛС и систем автоподстройки частоты.

Рис. 12.10. К определению коэффициентов статистической линеаризации