§ 9.3. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПТИМАЛЬНОЙ ПОЛОСЫ ПРОПУСКАНИЯ

Рассмотрим систему РА с частотной характеристикой (рис. 9.3)

где — ширина полосы пропускания системы РА.

Если сигнал и помеха некоррелированы, то дисперсия ошибки системы с частотной характеристикой (9.8) в соответствии с выражением (6.20)

где средняя квадратическая ошибка; спектральная плотность сигнала; -спектральная

плотность помехи; средняя квадратическая ошибка относительно сигнала; средняя квадратическая ошибка из-за действия помехи.

Из выражения (9.9) следует, что средняя квадратп ческая ошибка системы РА зависит от ширины полосы пропускания.

Рис. 9.3. Идеальная ЛЧХ

Рис. 9.4. К определению оптимальной полосы пропускания при неперекрещивающихся спектрах сигнала и помехи

Полосу пропускания системы РА, при которой средняя квадратическая ошибка принимает минимальное значение, называют оптимальной.

На рис. 9.4 показаны графики спектральных плотностей сигнала и помехи. Так как эти графики не перекрываются, то оптимальная полоса пропускания системы равна граничной частоте спектра сигнала. В этом случае средняя квадратическая ошибка системы РА равна нулю, так как все составляющие спектра сигнала воспроизводятся системой и ни одна составляющая спектра помехи не проходит на ее выход.

Если графики спектральных плотностей сигнала и помехи перекрываются, то обе составляющие средней квадратической ошибки системы в выражении (9.9) не равны нулю. Из рис. 9.5 видно, что первая составляющая (средняя квадратическая ошибка воспроизведения сигнала) определяется той частью спектральной плотности сигнала, которая расположена за полосой пропускания системы (площадь 1 под графиком спектральной плотности сигнала). С расширением полосы пропускания эта составляющая ошибки уменьшается (рис. 9.6). Вторая составляющая средней квадратической ошибки системы, обусловленная помехой, зависит от той части спектральной плотности помехи, которая совпадает с полосой пропускания системы (площадь 2 на рис. 9.5).

С расширением полосы пропускания среднеквадратическая ошибка и действия помехи увеличивается (рис. 9.6). Оптимальная полоса пропускания системы РА соответствует минимальной среднеквадратической ошибке.

Рис. 9.5. К пояснению оптимальной, полосы пропускания системы РА

Рис. 9.6. Зависимость средней квадратической ошибки системы РА от

Для ее вычисления продифференцируем выражение (9.9) по полосе пропускания и полученный результат приравняем нулю. В результате получим

Из этого выражения следует, что оптимальная полоса пропускания системы — это частота, на которой выполняется равенство

Так как частотные характеристики систем РА отличаются от идеальной характеристики (9.8), то оптимальная полоса пропускания, найденная из выражения (9.11), получается приближенной. Как показывает практика, ошибки при этом не превышают 10-20 %.

Минимум суммарной средней квадратической ошибки системы определяется не только полосой пропускания, но и видом ее частотной характеристики. Поэтому в общем случае синтез системы заключается в нахождении ее оптимальных частотных характеристик из условия минимума суммарнысредних квадратических ошибок при заданных статистических характеристиках сигнала и помехи.