§ 14.2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ НА АВМ

АВМ обладает рядом характерных свойств, основные из которых следующие: высокое быстродействие, работа в реальном времени, удобная и наглядная форма ввода и вывода данных, простота программирования, возможность включения в состав моделирующей установки реальной аппаратуры.

Рис. 14.1. Схема операционного усилителя: а — общая; суммирующего

Основным решающим элементом АВМ является операционный усилитель с обратной связью (рис. 14.1, а), передаточная функция которого

где — операторные сопротивления в цепи обратной связи и входной цепи усилителя; коэффициент усиления усилителя без обратной связи.

В усилителях АВМ коэффициент равен нескольким сотням тысяч, поэтому передаточную функцию операционного усилителя с высокой точностью можно принять следующей:

В табл. 14.1 даны схемы моделей типовых звеньев систем РА.

Если входная цепь операционного усилителя состоит из нескольких параллельно включенных резисторов (рис. 14.1,б), а в цепь обратной связи включен резистор то операционный усилитель производит суммирование: где коэффициенты усиления.

Таблица 14.1 (см. скан)

Продолжение табл. 14.1 (см. скан)

При моделировании реальные переменные исследуемой системы и внешние воздействия отображаются в АВМ напряжениями, которые называют машинными переменными. Соответствие между реальными и машинными переменными устанавливают с помощью масштабных коэффициентов, выбираемых из условия

где максимальное напряжение на выходе усилителей — максимальное значение моделируемой переменной.

Масштабные коэффициенты — размерные величины. Так, если является, например, углом поворота антенны РЛС, то размерность масштабного коэффициента вольт, деленный на радиан

Если требуется замедлить или ускорить процессы в модели по сравнению с процессами в реальной системе, то вводят масштабный коэффициент времени где системное время. При этом постоянные времени и коэффициенты передачи дифференцирующих

и интегрирующих звеньев пересчитывают по формулам для дифференцирующих и для интегрирующих звеньев.

Различают два способа моделирования систем РА: по дифференциальным уравнениям и по структурным схемам.

Рассмотрим моделирование по дифференциальным уравнениям на примере системы ФАПЧ, структурная схема которой приведена на рис. 1.8, а передаточная функция в разомкнутом состоянии определяется выражением (4.16). Дифференциальное уравнение системы в замкнутом состоянии имеет вид

Уравнение (14.3) представим в виде (8.5):

где коэффициенты вычисляются по формулам (8.7).

Введем масштабные коэффициенты для переменных для производных переменных состояния и для частоты эталонного и перестраиваемого генераторов.

Через масштабные коэффициенты и напряжения модели система уравнений (14.4) записывается в виде

где

Выражения (14.5) образуют систему машинных уравнений, масштабы переменных в которой необходимо выбрать в соответствии с (14.2), а также с учетом того, чтобы коэффициенты усиления операционных усилителей для обеспечения стабильности работы моделирующей установки не превышали нескольких десятков.

Рис. 14.2. Схема модели системы ФАПЧ

На рис. 14.2 приведена схема модели системы ФАПЧ, составленная по уравнениям (14.5), коэффициенты усиления которой рассчитаны для параметров системы при следующих значениях масштабных коэффициентов:

На схеме рис. 14.2 сопротивления резисторов указаны в мегаомах, а емкости конденсаторов в микрофарадах.

Недостатком рассмотренного метода моделирования является трудность исследования влияния параметров отдельных устройств системы на характеристики системы, так как коэффициенты усиления зависят от нескольких параметров системы и выбранных масштабных коэффициентов.

Более удобным оказывается метод моделирования по структурной схеме. В этом случае каждому звену структурной схемы исследуемой системы в АВМ соответствует модель этого звена, которую составляют по

передаточным функциям в соответствии с табл. 14.1 или по дифференциальному уравнению звена. Таким образом, совокупности физических устройств системы РА в АВМ соответствует набор моделей этих устройств, соединенных так же, как и устройства в реальной системе.

На рис. 14.3 показана структурная схема модели системы ФАПЧ, составленная по структурному методу.

Рис. 14.3. Схема модели системы ФАПЧ по структурному методу

На усилителях моделируется линеаризованный фазовый детектор, на усилителе фильтр нижних частот, а на усилителе — перестраиваемый генератор. Так как обратная связь должна быть отрицательной, то число усилителей в замкнутом контуре модели системы должно быть нечетным.

От схемы модели системы ФАПЧ, приведенной на рис. 14.3, легко перейти к схеме модели нелинейной системы. Для этого необходимо после усилителя включить нелинейный блок, на котором воспроизводится косинусная зависимость фазового детектора. Такие нелинейные блоки входят в состав АВМ.

Для изменения коэффициента усиления в моделируемой системе достаточно изменить коэффициент усиления какого-либо усилителя, а изменяя емкости, можно проследить влияние постоянных времени устройств системы на характеристики всей системы ФАПЧ.

Начальные условия системы в модели задаются начальными значениями напряжений на выходе интегрирующих усилителей.

Для исследования систем РА на модели АВМ необходимо сформировать различные воздействия.

Способы формирования детерминированных сигналов можно разделить на три группы. К первой группе относятся способы, при которых сигналы формируются непосредственно на операционных усилителях.

Так генерируются типовые воздействия (единичная функция и воздействия в виде полинома). Единичная функция моделируется как постоянное напряжение, момент включения которого синхронизируется с включением АВМ. Для моделирования воздействия в виде полинома используется цепочка интегрирующих усилителей (рис. 14.4), на выходе которой генерируется сигнал вида

Рис. 14.4. Схема моделирования иолиноминальяого сигнала

Ко второй группе способов моделирования детерминированных сигналов относятся способы генерирования аналитических функций, которые получаются как результат решения на АВМ некоторых дифференциальных уравнений. Рассмотрим, например формирование сигнала Дифференцируя найдем, что или Таким образом, решив на АВМ последнее дифференциальное уравнение, получим модель гармонического сигнала. Аналогичным образом сигнал вида может быть найден путем решения на АВМ дифференциального уравнения Также могут быть получены модели и других сигналов.

К третьей группе относятся способы моделирования иедифференцируемых сигналов, например, периодических прямоугольных или треугольных импульсов, сигналов пилообразного вида. Математическое обеспечение современных АВМ обычно включает генераторы таких сигналов, частоту которых можно изменять в диапазоне от 0,01 до 100 Гц, а амплитуду — от 0 до 100 или 50 В.

Помимо формирования детерминированных сигналов при исследовании систем РА на АВМ необходимо воспроизведение и случайных воздействий. Существует два

метода формирования случайных воздействий: 1) метод, использующий реальные физические источники шума; 2) метод, основанный на применении псевдослучайных чисел. В генераторах, построенных по первому методу, в качестве источника шума используют шумовые диоды, кремниевые стабилитроны, тиратроны. Такие генераторы позволяют получить случайный сигнал со спектром, не равным нулю до 150 Гц.

Генераторы с псевдослучайными числами отличаются высокой стабильностью характеристик. Они позволяют многократно воспроизводить одну и ту же реализацию случайного процесса достаточно большой продолжительности. Так как в таких генераторах воспроизводится одна и та же реализация случайного процесса, то всегда необходима проверка корректности применения такого вида процесса.

Для получения случайных сигналов с нужными статистическими характеристиками используют формирующие фильтры, передаточные функции которых определяются методами, изложенными ранее.

При моделировании систем РА со случайными сигналами нужно внимательно относиться к выбору масштабов переменных. Необходимо, чтобы для любой переменной модели выполнялось условие где — математическое ожидание переменной ; — ее среднее квадратическое значение. При выборе масштабов из этого условия ошибки определения статических переменных будут достаточно малы.

Результаты моделирования систем РА фиксируются визуально с помощью осциллографа или какого-либо другого регистрирующего прибора. Так, для определения переходного процесса нужно на вход модели подать единичное воздействие и зафиксировать напряжение, моделирующее выходной сигнал системы. Для оценки динамической точности на вход модели нужно подключить напряжение, сформированное по схеме рис. 14.4, и зафиксировать при нулевых начальных условиях напряжение ошибки.

Для нахождения частотных характеристик на вход модели подключают напряжение от низкочастотного генератора, изменяющееся по гармоническому закону. Отношение амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного позволяет получить амплитудно-частотную характеристику, а сдвиг фазы колебаний выходного

сигнала относительно входного определяет фазочастотную характеристику моделируемой системы РА.

При моделировании систем в условиях действия случайных воздействий измеряется средняя квадратическая ошибка, которую для стационарного эргодического процесса вычисляют по формуле

где центрированная случайная функция ошибки; интервал наблюдения.

Для схемы реализации последнего выражения на АВМ требуется квадратор и интегрирующий усилитель.

Автокорреляционная и взаимные корреляционные функции оцениваются по формулам

для схемной реализации которых необходимы блоки запаздывания, перемножения и интегрирующие усилители.

В процессе проектирования систем РА на АВМ характеристики различных вариантов построения систем фиксируются. Варьируя параметрами отдельных звеньев, можно найти наиболее приемлемый вариант построения системы и оценить влияние изменения отдельных параметров на качество ее работы проектируемой.