§ 12.7. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ ДЛЯ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Некоторые задачи анализа систем РА могут быть решены, если использовать методы, разработанные для исследования марковских процессов, отличающихся от

других случайных процессов простотой статистической связи между предыдущими и последующими значениями случайного сигнала.

Случайные процессы характеризируются гамерной плотностью распределения вероятности где Через условную плотность вероятности, характеризующую распределение в момент времени при известных значениях -мерную плотность вероятности процесса можно записать так:

Случайный процесс называют марковским (или процессом без последствия), если для любых моментов времени условная плотность вероятности «последнего» значения при известных зависит только от и не зависит от всех предшествующих значений, т. е. справедливо соотношение

Таким образом, если известно состояние марковского процесса в настоящий момент времени то его будущее значение в момент времени не зависит от прошлого состояния в моменты времени

Из выражений (12.28) и (12.29) следует, что

т.е. -мерная плотность вероятности марковского процесса полностью определяется одномерной плотностью и плотностью вероятности перехода

В [12] показано, что процесс является марковским, если составляющие удовлетворяют следующей системе стохастических уравнений:

где — известные нелинейные функции; независимые белые шумы с единичными спектральными плотностями

Плотность вероятности -мерного марковского

процесса, являющегося решением стохастических дифференциальных уравнений (12.31), удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка [12]:

где

Часто встречаются случаи, когда составляющие марковского процесса удовлетворяют системе стохастических дифференциальных уравнений вида

где — белые шумы, не зависящие от составляющих

В этом случае коэффициенты уравнения (12.32) получаются следующими:

где взаимные спектральные плотности шумов

Уравнение Фоккера-Планка позволяет найти плотность вероятности ошибки системы РА, вероятность срыва слежения цели, среднее время до срыва. Однако следует заметить, что интегрирование уравнения (12.32) является сложной математической задачей, в общем случае не решенной. Для некоторых частных случаев, имеющих практическое значение, решение этого уравнения может быть найдено.

Для анализа выходного сигнала системы или ее ошибки методами теории марковских процессов необходимо, во-первых, чтобы все случайные возмущения, действующие на систему, были белыми шумами и, во-вторых, чтобы система описывалась стохастическими дифференциальными уравнениями вида (12.31) или (12.35). Первое условие обычно выполняется, так как системы РА - это устройства с ограниченной полосой пропускания, в пределах которой спектр возмущений можно принять постоянным. Если спектр возмущений в пределах полосы пропускания изменяется, то можно ввести формирующий фильтр с белым шумом на входе, что, однако, приводит к повышению порядка стохастического дифференциального уравнения и, следовательно, к усложнению оценки характеристик нелинейной системы.

Для выполнения второго условия передаточная функция линейной части системы (см. рис. 1.20) должна быть дробно-рациональной функцией оператора . В этом случае математическое описание нелинейной системы в виде системы стохастических дифференциальных уравнений осуществляется так же, как и в линейных системах. Для приведения исходного дифференциального уравнения нелинейной системы к виду (12.31) или (12.35) следует использовать формулы (8.3) и (8.7).

Пример 12.3. Составить стохастические дифференциальные уравнения для ошибки системы (см. рис. 1.20), когда а шум не зависит от ошибки

Решение. Согласно структурной схеме системы, дифференциальное уравнение системы относительно ошибки имеет вид

Введем обозначение Составим систему дифференциальных уравнений:

Коэффициенты вычислим по формулам (8.7):

Введенные переменные являются составляющими марковского процесса,

После описания системы стохастическими дифференциальными уравнениями можно перейти к решению уравнения Фоккера-Планка, определяющему плотность веррятности ошибки системы с учетом нелинейной характеристики дискриминатора. Как отмечалось, решение уравнения Фоккера-Планка может быть найдено в том случае, когда линейная часть системы имеет порядок не выше второго. Решим это уравнение для системы, в которой Такая система описывается стохастическими дифференциальными уравнением

где -спектральная плотность белого шума; — спектральная плотность белого шума с интенсивностью, равной единице.

Уравнение Фоккера-Планка в соответствии с (12.32) имеет вид

Коэффициенты уравнения (12.37) в рассматриваемой задаче следующие:

При решении уравнение Фоккера-Планка обычно записывается так:

где поток плотности вероятности.

Найдем плотность вероятности ошибки в установившемся режиме . В этом режиме Тогда уравнение (12.39) принимает вид

где поток плотности вероятности в установившемся режиме, значение которого постоянно.

Плотность вероятности -функция неотрицательная, при она быстро убывает, так что

при равна нулю и производная поэтому уравнение (12.40) будет следующим:

Проинтегрировав уравнение (12.41), найдем

где константа С определяется из условия нормировки

В этом выражении через обозначены граничные значения дискриминационной характеристики (рис. 12.13).

Рис. 12.13. К определению граничных значений дискриминационной характеристики

Аналитическое решение уравнения Фоккера-Планка удается получить только для нелинейных систем, в которых линейная часть описывается передаточными функциями или . В системах более высокого порядка для решений можно использовать ЭВМ, объем вычислений в которых с повышением порядка системы существенно увеличивается. Поэтому обычно ограничиваются исследованием систем не выше второго порядка.

Одним из показателей качества работы систем РА является вероятность срыва слежения. Как отмечалось, при срыве слежения ошибка системы превышает граничные значения, в результате чего система размыкается. Если время размыкания превышает некоторое значение, то система становится неработоспособной. Вероятность возвращения ошибки в допустимые пределы за сравнительно короткое время мала, поэтому считают, что первое превышение ошибки граничных значений означает срыв слежения, вероятность которого оценивается по формуле

где - плотность вероятности ошибки, являющаяся решением уравнения Фоккера-Планка.

При этом полагают, что в начальный момент времени ошибка слежения удовлетворяет условию где в зависимости от решаемой задачи может быть детерминированной или случайной величиной.

При определении области интегрирования следует иметь в виду, что реализация марковского процесса, в которых ошибка выходит за граничные значения, должны быть исключены из рассмотрения. Для этого в системах, порядок передаточной функции линейной части которых не превосходит второго, достаточно потребовать, чтобы при плотность вероятности ошибки для систем более высокого порядка такое ограничение оказывается слишком жестким [12].

В том случае, когда передаточная функция линейной части системы а спектральная плотность шума не зависит от ошибки, расчет вероятности срыва слежения можно выполнить по формуле [13]

координаты ошибки (рис. дисперсия ошибки в системе, в которой нелинейная характеристика заменена линейной; постоянный коэффициент, имеющий размерность частоты.

Величины в (12.45) выполняют функции эквивалентных порогов в системе с линейной дискриминационной характеристикой, достижение которых рассматривается как срыв слежения. В [13] отмечается, что расчет по (12.45) позволяет определить вероятность срыва значительно точнее по сравнению с вероятностью

выхода ошибки за пределы линейного участка характеристики дискриминатора.

Расчет вероятности срыва слежения во многих случаях сложен и требует выполнения большого объема вычислительных работ. Поэтому часто ограничиваются оценкой менее полных характеристик. К таким характеристикам относятся, например, среднее время до срыва слежения или критический уровень шума, при котором срыв слежения еще не наступает (см. [12]).

(см. скан)