§ 9.4. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ

Сформулируем постановку задачи синтеза оптимальных систем. На вход проектируемой системы действуют

стационарные сигнал и помеха, автокорреляционные функции которых известны. Математические ожидания сигнала и помехи равны нулю. Желаемый выходной сигнал синтезируемой системы определяется заданной частотной характеристикой. Необходимо найти передаточную функцию системы, при которой суммарная средняя квадратическая ошибка системы (см. рис. 9.1) минимальна:

где ошибка системы; желаемый выходной сигнал системы; — выходной сигнал системы.

Рассмотрим задачу оптимальной фильтрации. В этом случае

Согласно (9.12), дисперсия ошибки

Дисперсию выходного сигнала синтезируемой системы найдем аналогично дисперсии ошибки системы (6,18):

где -импульсная переходная функция системы; автокорреляционная функция суммарного входного сигнала помеха. Таким же образом получим

где взаимная корреляционная функция сигнала с суммарным воздействием.

Подставив выражения (9.15) и (9.16) в (9.14), определим

Спптез оптимальной системы сводится к нахождению импульсной переходной функции из (9.17). Для решении этой задачи дадим вариацию импульсной переходной функции

— искомая оптимальная импульсная переходная Функция проектируемой системы РА; б - вариация импульсной переходной функции.

Импульсную переходную функцию, минимизирующую дисперсию ошибки (9.17), определим из условия

Подставим формулу (9.18) в (9.17). Тогда оптимальная импульсная переходная функция проектируемой системы РА с учетом (9.19) должна удовлетворять уравнению

Так как неоптимальная импульсная переходная функция функция произвольная, то уравнение (9.20) выполняется только в том случае, когда

где переменная X заменена на

Выражение (9.21) называют уравнением Винера — Хопфа.

Средняя квадратическая ошибка выделения сигнала из Воздействия в установившемся режиме — постоянная величина, ее значение определяется из выражения (9.17), в котором вместо нужно подставить Тогда с учетом уравнения (9.21)

Решение уравнения Винера — Хопфа во временной области является сложной задачей. Значительно проще решить эту задачу в частотной области, т. е. найти оптимальную частотную характеристику системы. С этой целью применим к уравнению (9.21) преобразование

Фурье. В результате получим

Из этого уравнения найдем оптимальную частотную характеристику:

где -спектральная плотность суммарного сигнала на входе проектируемой системы; — взаимная спектральная плотность сигнала с суммарным сигналом; — функция, все полюсы которой на плоскости комплексного переменного расположены в левой полуплоскости; — функция, все полюсы которой расположены в правой полуплоскости.

В общем случае

Если сигнал и помеха некоррелированы, то

Из выражений (9.24) — (9.26) следует, что оптимальная частотная характеристика выделяет составляющие сигнала на частотах, на которых его спектральная плотность сравнительно велика, и ослабляет составляющие сигналы на частотах с максимальной спектральной плотностью помехи.

С учетом оптимальной частотной характеристики минимальное значение дисперсии ошибки для некоррелированных сигнала и помехи в соответствии с выражением (6.20)

Таким образом, если спектры сигнала и помехи не перекрываются, то средняя квадратическая ошибка может быть равна нулю.

Спектральная плотность является четной функцией относительно частоты и, поэтому полюсы характеристики (9.24) расположены на плоскости как слева, так и справа от мнимой оси. Поэтому найденная оптимальная частотная характеристика (9.24) соответствует

физически нереализуемой неустойчивой системе. Дальнейший синтез оптимальной системы сводится к определению реализуемой оптимальной частотной характеристики, наиболее близкой к полученной нереализуемой (9.24).

Реализуемая оптимальная частотная характеристика определяется выражением

где операция означает выделение слагаемых, полюсы которых на плоскости комплексного переменного расположены слева от мнимой оси.

В случае, часто встречающемся в инженерной практике, когда функция

является дробно-рациональной функцией относительно частоты, выделение слагаемых с полюсами, расположенными слева от мнимой оси, осуществляется путем разложения (9.29) на простые дроби:

где

полюсы выражения (9.29).

Дисперсия ошибки в системе с частотной характеристикой (9.28) будет больше значения, определяемого по выражению (9.27) и найденного без учета физической реализуемости оптимальной системы. Однако среди реализуемых устройств система РА с характеристикой (9.28) обеспечивает наименьшее значение среднеквадратической ошибки выделения сигнала из его смеси с помехой.

Согласно (9.28), передаточная функция оптимальной проектируемой системы

Тогда передаточная функция последовательного корректирующего устройства, включаемого в цепь сигнала ошибки,

где -передаточная функция разомкнутой оптимальной системы; передаточная функция

исходной части, составленная из функционально необходимых устройств системы.

Если для коррекции используется стабилизирующая обратная связь, то передаточную функцию цепи обратной связи можно вычислить по формуле (7.24) с учетом (9.33).

Пример 9.2. Найти передаточную функцию последовательного корректирующего устройства в оптимальной системе автоподстройкн частоты, структурная схема которой показана на рис. 1.6, для случая, когда спектральные плотности сигнала и помехи определяются выражениями

Решение. Инррционностью усилителя и дискриминатора системы пренебрегаем. Тогда передаточная функция исходной части системы автоподстройки частоты

где постоянная времени гетеродина;

Спектральная плотность смеси сигнала с помехой

Таким образом,

В соответствии с выражением (9.28)

По методу неопределенных коэффициентов

В соответствии с (9.38) и (9.39) оптимальная частотная характеристика проектируемой системы автоподстройки Частоты

где

Для наглядности выразим параметры оптимальной частотной характеристики через коэффициент, равный отношению уровней спектральной плотности сигнала и помехи. В результате получим

где

На рис. 9.7 показаны зависимости коэффициента усиления Ко и постоянной времени То от коэффициента из которых видно, что с увеличением постоянная времени оптимальной системы уменьшается (ее предельное значение равно нулю), а коэффициент усиления растет (его предельное значение равно единице). Таким образом, при отсутствии помехи оптимальная система является безынерционным звеном (дисперсия ошибки равна нулю).

Рис. 9.7. Зависимость оптимальных параметров системы от отношения сигнал/шум

Дисперсию суммарной ошибки в оптимальной системе автоподстройки частоты определим по формуле (6.20):

Принимая во внимание введенное обозначение

Вычислим дисперсию ошибки по формуле (9.27):

Полученное значение меньше дисперсии ошибки, рассчитанной по оптимальной частотной характеристике. Это объясняется тем, что формула (9,27) найдена без учета физической реализуемости системы.

Передаточная функция разомкнутой оптимальной системы автоподстройки частоты

где

Передаточная функция последовательности корректирующего устройства в соответствии с выражением (9.33)

где коэффициент передачи корректирующего устройства.

Корректирующее устройство в оптимальной системе автоподстройки частоты включают между усилителем и дискриминатором, оно может быть реализовано -цепью с отставанием по фазе.

В заключение отметим, что при нестационарных воздействиях оптимальная система оказывается нестационарной, определение оптимальной переходной функции которой является сложной задачей. Поэтому при проектировании нестационарных оптимальных систем метод Винера не применяется. Решение нестационарных задач проектирования систем РА базируется на оптимальных фильтрах Калмана (см. гл. 11).

(см. скан)