§ 13.3. АДАПТИВНЫЕ СИСТЕМЫ

Проектирование систем РА при неопределенности изменения внешних условий (характеристик объектов управления и внешних воздействий) приводит к необходимости использования адаптивных систем, в которых для достижения оптимального критерия качества работы и поддержания его на этом уровне согласно измерениям внешних условий изменяются параметры и структурная схема системы. В результате система как бы приспосабливается к изменению внешних условий, при этом сохраняя оптимальный режим работы. Адаптивные системы, в которых оптимальный режим поддерживается только за счет регулировки параметров системы при сохранении ее структуры, называют самонастраивающимися (СНС). Если оптимальный режим поддерживается и за счет изменения структуры системы, то системы называют самоорганизующимися.

Оптимальные значения параметров устройства управления СНС определяются путем аналитического анализа или за счет использования специальных пробных сигналов, относительно которых оценивается критерий качества работы и организуется соответствующая перестройка параметров устройства управления. СНС первого типа называют аналитическими, второго — поисковыми. Различают также СНС с настройкой по внешним воздействиям и по характеристикам объекта управления.

На рис. 13.4 показана обобщенная структурная схема СНС, которая состоит из основного контура, работающего по принципу отклонения, и устройства адаптации

(УА), предназначенного для целенаправленного изменения характеристик устройства управления (УУ). В УА анализируется соответствие критерия качества заданному (оптимальному) значению, в результате чего вырабатываются сигналы для изменения настраиваемых параметров УУ.

Рис. 13.4. Обобщенная структурная схема СНС

Заметим, что синтез систем без устройств адаптации осуществляется методами, приведенными ранее. Этот этап называют первичным синтезом СНС, а проектирование устройств самонастройки — вторичным синтезом СНС.

Рис. 13.5. Структурная схема СНС с настройкой по внешним воздействиям

Рассмотрим СНС с настройкой по внешним воздействиям, структурная схема которой является частным случаем обобщенной (рис. 13.5). В таких системах оптимальный режим обеспечивается за счет измерения характеристик внешних воздействий. В УА решается задача оценки параметров входного сигнала и формируется алгоритм самонастройки, обеспечивающий оптимизацию критерию качества работы системы. Обычно критерием является квадрат суммарной ошибки

где динамическая ошибка; — дисперсия ошибки относительно случайных составляющих воздействий.

При анализе таких СНС полагают, что число

производных от сигнала ограничено, а характеристики случайных воздействий известны с точностью до параметров. Кроме того, считают, что измененне параметров воздействий происходит намного медленнее по сравнению с переходными процессами в СНС. При таких предположениях для анализа СНС можно использовать методы, изложенные в гл. 6. Проиллюстрируем это на конкретном примере.

Пример 13.2. Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии имеет вид На вход замкнутой системы поступает сигнал и действует помеха с известной спектральной плотностью Найти для оптимальной системы в смысле минимума (13.21).

Решение. Применив формулы (6.13) и (6.21), найдем, что

Оптимальное значение коэффициента усиления, соответствующее минимуму (13.21), вычислим из условия

откуда

Таким образом, в УА (рис. 13.5) должна вычисляться вторая производная сигнала и значение коэффициента усиления Ко, которое следует установить в системы. Оптимальный коэффициент усиления Ко может быть рассчитан заранее и помещен в память. В процессе работы системы по измеренному значению в устанавливают нужное значение

При выборе структуры УА возможны и другие два подхода. В первом настраиваемые параметры изменяются так, чтобы скомпенсировать отклонение критерия качества от заданного значения и сохранить его на требуемом уровне. Во втором подходе параметры объекта управлния и внешних воздействий идентифицируются. Связь этих параметров с регулируемыми параметрами системы известна и реализуется в в результате чего и достигается адаптация критерия качества к изменению внешних условий.

Системы, в которых реализуется первый подход (без идентификации характеристик внешних воздействий и объекта управления), называют СНС с эталонными

Рис. 13.6. Структурная схема СНС с эталонной моделью

моделями, а системы, реализующие второй подход, — СНС с настраиваемой моделью или адаптивными системами с идентификатором.

На рис. 13.6 показана структурная схема СНС с эталонной моделью. Сигнал отклонения равный разности сигналов с модели и с выхода системы является входным сигналом цепи самонастройки с помощью которой производится изменение параметров УУ, устраняющее рассогласование Из схемы рис. 13.6 видно, что образует в СНС замкнутый контур, устойчивость которого влияет на устойчивость всей СНС. Для проверки устойчивости СНС используют прямой метод Ляпунова, в соответствии с которым ограниченное значение свидетельствует об устойчивости СНС. Познакомимся с этим методом на конкретном примере.

Пример 13.3. Система в разомкнутом состоянии описывается уравнением

где постоянные коэффициенты; коэффициент передачи объекта управления; регулируемый коэффициент усиления УУ.

Уравнение модели имеет вид

Найти алгоритм для регулируемого коэффициента усиления УУ и условие устойчивости СНС.

Решение. Вычтя из (13.23) уравнение (13.22), получим

где

Перепишем последнее выражение в виде

Выберем функцию Ляпунова следующим образом:

Полная производная от функции Ляпунова (13.26):

или с учетом выражений (13.25):

В соответствии с прямым методом Ляпунова, если оказывается знакоопределенной функцией противоположного знака по сравнению с V, то система асимптотически устойчива и отклонения и стремятся к нулю, В рассматриваемом примере это

условие выполняется, если

Представим в виде где постоянное номинальное значение коэффициента передачи; его переменная составляющая, изменение которой происходит медленно по сравнению с процессом самонастройки, поэтому его производную на интервале времени самонастройки можно принять равной нулю. Тогда из выражений (13.24) и (13.28) следует, что или

На рис. 13.7 приведена структурная схема СНС, соответствующая алгоритму самонастройки (13.29).

Рис. 13.7. Структурная схема СНС второго порядка

В рассмотренном примере в качестве критерия оптимальности приближение выходного сигнала системы Помимо такого критерия наиболее часто используются зависимости вида

В таких случаях синтез цепи самонастройки осуществляется следующим образом. На основании измеренного отклонения сигналов на выходе модели и системы и выбранного критерия вторичной оптимизации цепи самонастройки определяются требуемые значения параметров УУ, которые и устанавливаются в системе. Для реализации такого принципа самонастройки обычно применяют градиентный метод, в соответствии с которым необходимо найти градиент, определяемый выражением

где регулируемые параметры УУ, число которых равно

Выходной сигнал системы запишем в виде

где -вектор регулируемых параметров

УУ; В — вектор неконтролируемых параметров объекта управления.

Эталонная модель описывается уравнением, по форме совпадающим с (13.32).

В соответствии с градиентным методом скорость изменения регулируемых параметров пропорциональна составляющим вектора градиента (13.31):

где постоянный коэффициент.

Критерий оптимальности (13.30) является функцией поэтому выражение (13.33) можно представить в виде

Сомножитель при выбранном критерии оптимальности известен, второй сомножитель, как показано в [21], можно найти по формуле

где — оператор УУ.

Подставив (13.35) в (13.34), найдем алгоритм цепи самонастройки:

В поисковых для оптимизации критерия качества применяются специальные поисковые сигналы. Рассмотрим основные методы поиска экстремума, полагая, что функция унимодальна, т. е. имеет один экстремум. Для конкретности будем полагать, что экстремумом является минимум, необходимым условием которого является равенство нулю градиента (13.31). Если при каком-то значении вектора С градиент то это означает, что минимум не достигнут и нужно изменить вектор С так, чтобы I уменьшалось. Таким образом, поиск минимума состоит из двух этапов: определение градиента и организации движения в направлении минимума. При использовании для поиска метода градиента скорость изменения составляющих вектора пропорциональна составляющим градиента (13.33). Так как градиент измеряется непрерывно, то скорости изменения составляющих вектора С в любой момент времени пропорционален градиенту. Если при этом неположительна, то

градиент уменьшается и при каком-то значении с до стигает минимума.

Если для поиска применяют цифровые ЭВМ, то используют дискретный метод, в соответствии с которым составляющие вектора С на каждом последующем шаге принимаются следующими:

Вычисления по формуле (13.37) производят до тех пор, пока не будет выполняться условие

что соответствует достижению минимума, равного

Кроме метода градиента поиск экстремума осуществляют методом наискорейшего спуска, согласно которому скорость изменения вектора С берется пропорциональной градиенту в точке Со:

Изменение вектора с этой скоростью происходит до тех пор, пока при каком-то значении не будет удовлетворяться условие после чего находят градиент в точке и вычисления повторяют.

В дискретной форме алгоритм наискорейшего спуска имеет вид

Вычисления производят до тех пор, пока не будет выполнено условие (13.38). В найденной точке снова определяют градиент, после чего начинают второй цикл, при этом вместо Со в (13.40) подставляют Подобные циклы продолжают до тех пор, пока не будет достигнут минимум фиксируемый по какому-либо правилу, например, когда модуль разности на законченном в предыдущих циклах не превосходит заданного значения.

В рассмотренных методах при поиске экстремума изменяются одновременно все аргументы функции что затрудняет реализацию алгоритмов. Процедуру поиска можно упростить, если при начальном значении изменять только составляющую С] до тех пор, пока не достигнет экстремального значения. После этого следует осуществить аналогичное изменение До достижения экстремума и т. д. до затем весь цикл поиска повторяется, начиная с до выполнения условия или (13.38) в дискретном варианте. Этот метод поиска экстремума функции называют методом Гаусса-Зайделя.

Изложенные методы поиска применяют в СНС, когда известен конкретный вид функции Во многих СНС функции в явной форме неизвестна, но могут измеряться ее значения, по которым и находят составляющие градиента. В таких системах помимо метода численного дифференцирования, связанного с использованием ЭВМ, применяется метод синхронного детектирования. В соответствии с этим методом составляющие вектора С получают приращения в виде поисковых сигналов в результате чего функция принимает вид Разложим эту функцию в ряд Тейлора, ограничась квадратичными членами, и умножим на . В результате получим

Усредненное значение функции (13.41):

где Т - время усреднения.

В качестве поисковых сигналов выбирают гармонические воздействия

Так как

то выражение (13.42) принимает вид

т.е. значения пропорциональны составляющим градиента.

Для аппаратурной реализации этого способа определения градиента необходим генератор гармонических колебаний, умножитель и фильтр, усредняющий сигналы Устройство, состоящее из умножителя и сглаживающего фильтра, называют синхронным детектором.

Рис. 13.8. Структурная схема СНС с синхронным детектированием

На рис. 13.8 приведена структурная схема СНС с эталонной моделью, в которой составляющие градиента определяются по методу синхронного детектирования. Сигнал ошибки системы подают на эталонную модель, сигнал рассогласования в цепи самонастройки возводится в квадрат и поступает на умножители, на вторые входы которых подаются поисковые колебания частоты колебаний которых намного больше полосы пропускания системы. Сигналы с умножителей поступают на усредняющие фильтры с коэффициентом передачи . В результате на выходах фильтров вырабатываются сигналы, пропорциональные составляющим градиента Эти составляющие интегрируются, выходные сигналы интеграторов определяют параметры устройства управления, которые изменяются до тех пор, пока составляющие градиента не обратятся в нуль, что соответствует приближению с минимальной средней квадратической ошибкой.

Число регулируемых параметров устройства управления выбирается таким, чтобы обеспечить достаточное приближение передаточной функции разомкнутой системы к