§ 11.4. ДИСКРЕТНЫЙ ФИЛЬТР КАЛМАНА

Найдем векторное разностное уравнение оптимального фильтра Калмана. По определению оценка вектора переменных состояния сигнала определяется выражением [10]

Введем с помощью соотношения

невязку измеряемого сигнала (11.28). Принимая во внимание, что математическое ожидание равно нулю, выражение (11.31) перепишем в виде

Так как — гауссовские последовательности с нулевыми математическими ожиданиями, то второе слагаемое в выражении (11.33) можно записать так:

где - матрицы корреляционных моментов.

Введем матрицу усиления

Учитывая, что

выражение (11.33) представим в виде

Первое слагаемое в этом выражении определяет оценку в момент времени по результатам измерений, второе уточняет эту оценку по последнему измерению.

Измеряемый сигнал характеризуется выражением (11.28). Невязка этого сигнала (11.32) некоррелироваиа с вектором помехи поэтому выражение (11.32) можно записать так:

Подставив (11.37) в уравнение (11.36), найдем, что

Выражение (11.38) является векторным разностным уравнением оптимального фильтра, в соответствии с которым на рис. 11.4 построена структурная схема фильтра. Из этой схемы видно, что найденный оптимальный фильтр — это система с обратной связью, внутренним контуром которой является формирующий фильтр сигнала, а параметры обратной связи определяются матри. усиления. Найдем эту матрицу. Для этого подставим в выражение (11.37) вектор (11.28). В результате получим

где вектор ошибки.

Рассмотрим второй сомножитель матрицы усилений . С учетом выражения (11.39)

Рис. 11.4. Структурная схема оптимального фильтра

После выполнения операций умножения получим

где матрица корреляционных моментов ошибки; -матрица интенсивности вектора помехи.

Второе и третье слагаемое в (11.40) равны нулю. Действительно, принимая во внимание вектор ошибки, из уравнения (11.39) можно записать, что

Вектор переменных состояния и вектор помех некоррелированы между собой, поэтому первое слагаемое в (11.41) равно нулю.

Оценку с учетом выражения (11.16) представим в виде

где — матрица формирующего фильтра сигнала.

Так как начальное состояние оценки вектора переменных состояния сигнала равно нулю, то выражение (11.42) также равно нулю. Поэтому второе слагаемое в (11.41) равно нулю и матрица корреляционных моментов (11.40) получается следующей:

Рассмотрим первый сомножитель матрицы усиления (11.35). Согласно (11.39),

Раскрыв в этом выражении скобки, найдем, что

Так как оценка вектора переменных состояния не зависит от при любых то второе и третье слагаемые в последнем выражении равны нулю. В соответствии с (11.41) оказывается равным нулю и четвертое слагаемое, поэтому

Подставив выражения (11.43) и (11.44) в матрицу усиления (11.35), получим

Матрица корреляционных моментов ошибки в (11.45) с учетом того, что не зависят друг от друга, определяется по формуле

Таким образом, матрица усиления оптимального фильтра определена. Найдем выражение для вектора ошибки фильтрации:

Подставив в (11.47) оценку вектора переменных состояния (11.36), получим

или, учтя уравнение (11.39),

где I — единичная матрица.

Матрица корреляционных моментов ошибки по определению имеет вид

Подставив в это выражение уравнение (11.48) с учетом

определим

Согласно (11.45),

Выполнив умножение матриц в выражении (11.49) с учетом (11.50), получим окончательное выражение для матрицы корреляционных моментов ошибки:

Сумма элементов главной диагонали матрицы (11.51) определяет дисперсию суммарной ошибки оптимального фильтра, которая при заданных характеристиках сигнала и помехи и найденном уравнении фильтра имеет минимальное значение.

Особенностью оптимального фильтра Калмана является рекуррентная форма его уравнений, поэтому для обработки результатов измерений целесообразно

использовать цифровые вычислительные устройства. Последовательность вычислений на одном цикле следующая (см. рис. 11.4):

1) найденная на предыдущем цикле оценка умножается слева на матрицу перехода в результате чего определяется

2) оценка умножается слева на и по формуле (11.37) вычисляется невязка

3) умножается на матрицу усиления и результат суммируется с оценкой после чего находится оценка

Далее цикл вычислений повторяется. На каждом цикле рассчитываются также матрицы корреляционных моментов

При расчете матрицы усиления (11.45) определяют обратную матрицу размером тут, что обычно не связано с большими трудностями, так как число выходов фильтра редко превышает значение, равное 2—3.

При стационарных воздействиях в установившемся режиме матрицы усиления и корреляционных моментов ошибки являются стационарными и могут быть найдены из уравнений (11.45), (11.46) и (11.51).

При реализации оптимальных фильтров на цифровых устройствах из-за ограниченного числа их разрядов вычисления выполняются с погрешностями. Наибольшие погрешности получаются при расчете матрицы, корреляционных моментов ошибки, причем с каждым последующим циклом объем вычислений увеличивается и качество оценок сигнала ухудшается. В теории оптимальных фильтров это явление называют неустойчивостью фильтров Калмана.

Пример 11.3. Найти уравнение оптимального фильтра первого порядка, на вход которого воздействует помеха в виде белого шума с интенсивностью и случайный стационарный сигнал, генерируемый формирующим фильтром, разностное уравнение которого имеет вид

Решение. Из последнего разностного уравнения следует, что Выражения (11.45), (11.46) и (11.51) в рассматриваемом примере являются скалярными:

Из этих уравнений находим, что

Уравнение оптимального фильтра в соответствии с выражением (11.38) имеет вид

Оценка сигнала вычисляется в такой последовательности. По начальному значению определяется коэффициент усиления и дисперсия а затем находится значение оценки сигнала после чего цикл вычислений повторяется.

Таблица 11.1

В табл. 11.1 приведены результаты расчета нескольких циклов для случая

Значения дисперсии оценки сигнала и коэффициента усиления, указанные в табл. 11.1 для установившегося режима, определены следующим образом. В этом режиме поэтому уравнения (11.52), решенные относительно ошибки фильтрации, позволяют получить следующее квадратное уравнение решение которого Так как дисперсия — величина положительная, то ошибка фильтрации что дает возможность вычислить коэффициент усиления оптимального фильтра. Уравнение для оценки сигнала в установившемся режиме имеет вид

Осуществив -преобразование последнего разностного уравнения, найдем дискретаую передаточную функцию оптимального фильтра: