§ 11.3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНОГО ДИСКРЕТНОГО ФИЛЬТРА

Современные методы расчета оптимальных фильтров основываются на том, что случайные сигналы генерируются из белого шума с помощью формирующих фильтров. Для стационарных случайных сигналов может быть найдена дискретная передаточная функция формирующего фильтра. Для этого необходимо спектральную плотность дискретного случайного сигнала представить в виде произведения двух комплексно-сопряженных функций:

где частотная характеристика формирующего фильтра относительно псевдочастоты; интенсивность белого шума на входе формирующего фильтра.

Для математического описания сигнала при решении оптимальных задач используется передаточная функция формирующего фильтра в виде -преобразования

Передаточная функция (11.23) определяет векторное разностное уравнение формирующего фильтра.

Решение оптимальной задачи заключается в определении оценки вектора переменных состояния формирующего фильтра сигнала и ошибки оценки

Следовательно, определяются в дискретные моменты времени на основании их предыдущих значений. Различают три случая:

1) если то задачу оценки называют предсказанием;

2) если то задачу оценки называют задачей фильтрации;

3) если то задачу оценки считают задачей интерполяции.

В дальнейшем рассматривается задача фильтрации. После предварительных замечаний, сформулируем задачу синтеза оптимальных фильтров (рис. 11.3).

Полагаем, что случайный дискретный сигнал является результатом прохождения белого шума через формирующий фильтр, векторное разностное уравнение

которого имеет такой вид:

где -вектор переменных состояния сигнала; — дискретная матрица перехода; матрица управления; -транспонированная матрица наблюдения.

Рис. 11.3. К постановке задачи дискретного фильтра Калмана

Гауссовская случайная последовательность имеет характеристики

где -матрица интенсивностей белых шумов на входе формирующего фильтра вектора сигнала;

означает взятие математического ожидания от выражения, заключенного в квадратные скобки.

Начальное состояние вектора переменных состояния характеризуется гауссовским распределением с характеристиками

Измеряемый сигнал (воздействие на входе синтезируемого фильтра)

где вектор помех с характеристиками. При этом

где матрица интенсивностей белых шумов вектора помех.

Случайные последовательности и полагаем некоррелированными.

Задача синтеза состоит в том, чтобы найти векторное разностное уравнение фильтра, обеспечивающего по измеренным значениям сигнала оптимальную текущую оценку вектора переменных состояния сигнала с минимальной дисперсией ошибки:

где вектор ошибки; оценка вектора переменных состояния сигнала.