§ 12.6. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ ДЛЯ АНАЛИЗА СТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМОВ И СРЫВА СЛЕЖЕНИЯ

Возможность замены характеристик нелинейных звеньев линейными зависимостями позволяет при анализе нелинейных систем использовать методы, разработанные для линейных систем РА. Применим метод статистической линеаризации для анализа стационарных режимов в системе РА (рис. 12.11). Нелинейным устройством является дискриминатор с характеристикой где сигнал ошибки системы. Задача анализа заключается в оценке влияния характеристик дискриминатора на точность системы и определении условий, при которых нарушается нормальная работа системы и происходит срыв слежения.

При анализе точности работы системы относительно неслучайной составляющей сигнала нелинейный элемент в соответствии с методом статистической линеаризации заменяется линейным звеном с

коэффициентом передачи По формуле (6.13) найдем математическое ожидание сигнала ошибки:

где передаточная функция ошибки системы.

Рис. 12.11. Структурная схема нелинейной системы РА

Отметим, что математическое ожидание сигнала ошибки (12.22) имеет конечное значение, если степень медленно изменяющего сигнала не превышает порядка астатизма системы.

При анализе системы относительно случайной составляющей (помехи) нелинейный элемент заменяется линейным звеном с коэффициентом передачи При этом выражение для дисперсии сигнала ошибки в соответствии с (6.20) принимает вид

где спектральная плотность помехи.

Для определения необходимо решить систему алгебраических уравнений (12.22) и (12.23). Для этого можно использовать метод приближенных вычислений, в соответствии с которым при каких-либо значениях находятся коэффициенты статистической линеаризации после чего по формулам (12.22) и (12.23) вычисляются значения те и а и т. д. до тех пор, пока не совпадут два последовательных приближения. Уравнения (12.22) и (12.23) могут быть решены и графически. Проиллюстрируем это на конкретном примере.

Пример 12.2. Найти суммарную среднюю квадратнческую ошибку системы автоматического сопровождения цели (рис. 12.11).

Расчеты провести для случая, когда а передаточная функция исполнительного устройства системы где

Решение. Спектральная плотность помехи, действующей на вход системы,

где

Пеленгационная характеристика системы сопровождения аппроксимируется выражением (12.21), в котором

Уравнения (12.22) и (12.23) для рассматриваемой системы получаются следующими:

Рис. 12.12. К вычислению коэффициентов статистической линеаризации в системе автосопровождения цели

Расчет коэффициентов статической линеаризации выполним в такой последовательности. Проведем на 12.10, а прямую, уравнение которой следует из выражения (12.24) и имеет вид

По точкам пересечения этой прямой с изображенными на рис. 12.10, а кривыми найдем зависимость (кривая 1 на рис. 12.12)

Формула (12.27) связывает математическое ожидание сигнала ошибки те и дисперсию этого сигнала удовлетворяющие уравнению (12.26).

Для каждой пары значений те и о, связанных уравнением (12.27), по формулам (12.20) рассчитывают коэффициенты статистической линеаризации а по формулам (12.25) — зависимость дисперсии сигнала ошибки о от математического ожидания этого сигнала (кривая 2 на рис. 12.12). Точка пересечения кривых и 2 и определяет математическое ожидание сигнала ошибки те и дисперсию этого сигнала а. В рассматриваемой системе автоматического сопровождения цели По этим значениям и кривым рис. 12.10 находят коэффициенты статистической линеаризации , которые затем используют для оценки точности работы системы. Динамическая ошибка системы определена — это значение математического ожидания сигнала ошибки Дисперсия ошибки системы из-за действия

помехи, согласно (6.20),

где замкнутой системы.

Таким образом, суммарная средняя квадратическая ошибка сие темы автоматического сопровождения цели

Определим условия, при которых в следящей системе из-за нелинейных свойств пеленгационной характеристики происходит срыв сопровождения цели. Процесс срыва носит случайный характер, поэтому его характеристикой является вероятность возникновения срыва за какой-то промежуток времени. Вычисление этой вероятности является сложной задачей. В инженерной практике ограничиваются выявлением характеристик сигнала и помех, при которых происходит срыв сопровождения цели. Метод статистической линеаризации позволяет решить эту задачу, при этом удобно использовать графический способ, который применялся ранее для анализа стационарных режимов в системах РА.

Оценим, при каком уровне спектральной плотности помехи происходит срыв сопровождения цели в системе, рассмотренной в примере 12.2. С увеличением уровня спектральной плотности помехи кривая 2 на рис. 12.12 не изменяет своей формы и смещается вверх; при каком-то значении кривые 1 к 2 не будут пересекаться. Это означает, что отсутствует совместное решение уравнений (12.24) и (12.25). Математическое ожидание и дисперсия сигнала ошибки резко возрастают и происходит срыв сопровождения цели, система становится разомкнутой, а следовательно, неработоспособной. После срыва сопровождения цели математическое ожидание сигнала ошибки неограниченно увеличивается, а дисперсия сигнала ошибки оказывается равной дисперсии помехи. Граничное значение уровня спектральной плотности помехи при котором происходит срыв сопровождения цели, равно При этом кривая 2 на рис. 12.12 оказывается касательной к кривой . В рассмотренном ранее примере

Граничное значение уровня спектральной плотности помехи зависит от параметров системы, управляющего воздействия и ширины спектра помехи. Так, с ростом производной управляющего воздействия увеличивается математическое ожидание сигнала ошибки, в результате чего уменьшается. С расширением спектра помехи также снижается, так как при этом увеличивается дйсперсия сигнала ошибки. С ростом коэффициента передачи линейной части системы сигнал ошибки уменьшается, а следовательно увеличивается