§ 14.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ЦИФРОВЫХ ЭВМ

Моделирование систем РА на цифровых ЭВМ состоит из нескольких этапов:

формирование цифровой модели системы, т.е. выбор численного алгоритма решения дифференциальных уравнений, описывающих процессы в системе;

выбор алгоритмов для моделирования управляющих и возмущающих воздействий;

составление на одном из универсальных алгоритмических языков (ФОРТРАН, PL-1 и т. п.) программы для

решения на ЦВМ численных алгоритмов цифровой модели;

отладка модели.

При выборе численных алгоритмов, реализуемых в цифровой модели системы, следует учитывать время вычислений, точность решения, объем памяти и др. Существует два класса численных методов решения дифференциальных уравнений, которые могут быть использованы для реализации в цифровых моделях. Первый класс базируется на интегрировании дифференциальных уравнений численными методами (Эйлера, Эйлера — Коши и Рунге — Кутта); математическое обеспечение современных УВМ содержит стандартные программы решения задач этими методами.

Второй класс численных методов основан на применении разностных уравнений, позволяющих процесс моделирования свести к рекуррентным вычислениям.

В цифровых моделях сигналы квантуются как по времени, так и по уровню, в результате чего возникают ошибки. В универсальных ЦВМ шаг квантования сигналов по уровню имеет малое значение (в ЦВМ серии шаг квантования ), поэтому во многих инженерных задачах влиянием квантования сигналов по уровню на точность моделирования можно пренебречь и считать, что основное влияние на точность расчётов оказывает квантование сигналов по времени.

Помимо ошибок, связанных с квантованием сигналов, в цифровой модели из-за ограниченного числа разрядов ЦВМ возникают ошибки, связанные с округлением результатов математических операций. При большом числе математических операций, выполняемых на каждом шаге квантования сигналов по времени, например, при моделировании фильтров Калмана, ошибки округления накапливаются и могут качественно исказить результаты моделирования. Для снижения накопления ошибок округления следует уменьшить период квантования сигналов по времени, что может привести к росту математических операций, а следовательно, и к увеличению ошибок округления. Поэтому выбор периода квантования сигналов по времени с учетом ошибок округления является сложной задачей и обычно осуществляется в процессе моделирования экспериментально путем последовательного подбора. Начальное значение периода квантования сигналов по времени, согласно теореме Котельникова, где эквивалентная полоса

пропуекания системы. Период определяет нижнее значение периода квантования сигналов по времени, в действительности период выбирают примерно на порядок меньше.

Методы численного интегрирования дифференциальных уравнений описаны в литературе, поэтому ограничимся анализом методов второго класса, которые позволяют снизить требования к периоду квантования сигналов по времени, уменьшить необходимый объем памяти.

При моделировании линейной динамической системы по ее передаточной функции и выбранном методе дискретной аппроксимации находят цифровой эквивалент системы. Выбор метода дискретной аппроксимации (см. гл. 10) зависит от точности аппроксимации моделируемой системы ее цифровым эквивалентом. При использовании любого метода рассчитывают дискретную передаточную функцию цифровой модели системы, которую в общем случае можно записать в виде

Из передаточной функции (14.6) следует следующее разностное уравнение

Уравнение (14.7) и является цифровой моделью исследуемой системы.

Определение передаточной функции (14.6) связано с необходимостью предварительного вычисления полюсов моделируемой системы, что не всегда может быть сделано. Поэтому при цифровом моделировании нецелесообразно находить модель системы как совокупность цифровых моделей отдельных звеньев системы РА, полюсы которых нетрудно рассчитать. Так как число типовых звеньев в системах ограничено, то их цифровые модели могут быть составлены заранее, в этом случае модель цифровой системы становится универсальной, т. е. пригодной для моделирования систем РА различного назначения. При моделировании нелинейных систем РА в состав модели следует включить цифровые модели нелинейных звеньев.

Пример 14.1. Составить цифровую модель системы ФАПЧ, структурная схема которой показана на рис. 1.8.

Решение. Для упрощения постоянной времени фазового

детектора пренебрежем. В результате, согласно (4.16), передаточная функция системы ФАПЧ в разомкнутом состоянии

Применим метод дискретной аппроксимации по переходному процессу. При этом цифровой эквивалент определяется по формуле (10.76). Цифровая модель разомкнутой системы определяется дискретной передаточной функцией

где

Для выходного сигнала -преобразование (частоты напряжения перегреваемого генератора) имеет вид

где преобразование сигнала ошибки; -преобразование входного сигнала (частота сигнала с эталонного генератора).

Выражению (14.9) с учетом передаточной функции (14.8) соответствует следующее "разностное уравнение:

Уравнение (14.10) является цифровой моделью системы ФАПЧ, схема алгоритма которого приведена на рис. 14.5.

Рис. 14.5. Схема алгоритму моделирования цифровой системы ФАПЧ

Следующим этапом разработки цифровой модели системы РА является составление моделей управляющих и возмущающих воздействий.

Одним из возможных методов формирования модели детерминированных сигналов является табличный, в соответствии с которым в блоке йамяти ЦВМ размещают массив дискретных значений

сигнала, к которому обращаются в процессе решения задачи. Кроме того, существует метод генерирования детерминированных сигналов, основанный на математической зависимости, описывающей моделируемый сигнал (формульный метод). В этом случае возможны различные подходы к формированию модели сигнала. Одна из них базируется на числовом решении дифференциальных уравнений, позволяющих получить нужную модель сигнала. Разработан подход, основанный на разложении детерминированного сигнала в степенной ряд, в результате чего модель сигнала имеет вид рекуррентных уравнений, которые дают возможность вычислить последующий сигнал по значению, найденному на предыдущем шаге вычислений. Формульный метод моделирования детерминированных сигналов более удобен по сравнению с табличным, так как требует меньший объем памяти.

Рис. 14.6. Плотность распределения вероятности последовательности случайных чисел

При моделировании случайных сигналов возможны два случая. В первом случайным является какой-либо параметр детерминированного сигнала, например амплитуда синусоидального сигнала, во втором случае моделируется случайный сигнал с заданными статистическими характеристиками.

Выборку случайных значений параметра сигнала производят с помощью датчика случайных чисел, который представляет в современных ЦВМ стандартную программу, вырабатывающую последовательность случайных чисел с равномерным распределением на интервале (рис. 14.6).

Из случайной последовательности с равномерным распределением можно сформировать последовательности с заданным распределением. Один из методов выработки случайной последовательности чисел с гауссовским распределением основывается на центральной предельной теореме, в соответствии с которой сумма независимых случайных величин с произвольными законами распределения и мало отличающимися дисперсиями образует последовательность с законом распределения, приближающимся к гауссовскому при

На практике при равномерно распределенных на интервале распределение последовательности близко к гауссовскому с математическим ожиданием и дисперсией Нормированное распределение с и можно получить с помощью алгоритма

где случайные числа с равномерным распределением на интервале

При

Моделирование случайных последовательностей с произвольными распределениями также выполняется на основе равномерного распределения чисел на интервале Для этого используют теорему, согласно которой случайная величина распределена равномерно на интервале независимо от вида Поэтому для моделирования случайной последовательности с плотностью распределения можно решить относительно верхнего предела следующее интегральное уравнение:

Если при то нижний предел интегрирования заменить на

Цифровая модель такого сигнала с заданной спектральной плотностью состоит из цифровой модели формирующего фильтра, частотная характеристика которого определяется выражением (6.24), и цифровой модели белого шума.

Пример 14.2. Составить цифровую модель формирующего фильтра для моделиропанкя случайного сигнала, спектральная плотность которого

Решение. Используя выражение (6.24), найдем передаточную

функцию формирующего фильтра:

Для определения цифровой модели формирующего фильтра примем метод дискретной аппроксимации по импульсной переходной функции. В этом случае дискретная передаточная функция цифрового эквивалента формирующего фильтра

где период квантования сигналов по времени.

Данной передаточной функции соответствует разностное уравнение

где выходной сигнал формирующего фильтра; дискретный белый шум на входе формирующего фильтра интенсивностью

Достаточно полное изложение методов формирования цифровых моделей различных случайных воздействий дано в [2].

(см. скан)

ГЛАВА 15. ЗАДАЧИ ПО ТЕМАМ КУРСА НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ РА

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ РА

(см. скан)

(см. скан)

НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

(см. скан)

(см. скан)

ОТВЕТЫ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)