§ 5.3. ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

Частотные критерии устойчивости базируются на принципе аргумента. Рассмотрим этот принцип, для чего запишем выражение для характеристического вектора, которое получим из характеристического уравнения (5.5) путем замены на

На рис. 5.2 изображены сомножители

характеристического вектора. Определим изменение аргумента вектора при изменении частоты от до

Если корень характеристического уравнения расположен на комплексной плоскости слева от мнимой оси, то вектор поворачивается на угол , если этот корень находится на комплексной плоскости справа от мнимой оси, то вектор поворачивается на угол . Допустим, что корней характеристического уравнения расположены справа от мнимой оси, а остальные корней — слева. Тогда изменение аргумента характеристического вектора равно Это выражение и определяет принцип аргумента.

Рис. 5.2. К оценке изменения аргумента характеристического вектора В устойчивой системе и изменение аргумента характеристического вектора получается следующим:

Из выражения (5.12) следует критерий устойчивости Михайлова, согласно которому изменение аргумента характеристического вектора определяется по годографу вектора, который записывают в виде

где -действительная и мнимая части характеристического вектора.

Система РА устойчива, если годограф характеристического вектора, начинаясь на положительной части действительной оси, обходит последовательно в положительном направлении квадрантов, где а — порядок характеристического уровня системы.

Только в этом случае выполняется условие (5.12). На рис. приведены примеры годографов для устойчивых и неустойчивых систем. Если годограф проходит через начало координат (рис. 5.3, б), то система находится на границе устойчивости. В этом случае

Из этих уравнений можно определить значения

параметров, при которых система находится на границе устойчивости.

Пример 5.2. Найти критическое значение коэффициента усиления которая рассматривалась в примере 5.1. в системе ФАПЧ,

Рис. 5.3. Общий вид характеристического вектора: а — устойчивой системы; б — неустойчивой системы; в — системы на границе устойчивости

Решение. Характеристический вектор определяется из выражения (5.10):

В соответствии с выражениями (5.13) условия, определяющие границу устойчивости, получаются следующими:

Следовательно,

При значениях коэффициента усиления меньше критического система ФАПЧ устойчива, в противном случае она неустойчива. На рис. 5.4 показан годограф характеристического вектора устойчивости системы ФАПЧ при .

Рис. 5.4. Годограф характеристического вектора системы ФАПЧ

На практике более широкое по сравнению с критерием Михайлова применение нашел частотный критерий Найквиста, который позволяет судить об устойчивости системы по частотным характеристикам разомкнутой системы. Рассмотрим случай, когда разомкнутая

система РА устойчива и не содержит интегрирующих звеньев. Для доказательства критерия Найквиста введем вектор

где — частотная характеристика разомкнутой системы.

Числитель (5.14) является характеристическим вектором замкнутой системы, а знаменатель — характеристическим вектором разомкнутой системы. Определим изменение аргумента вектора (5.14) для случая, когда замкнутая система устойчива:

Таким образом, если разомкнутая и замкнутая системы устойчивы, то изменение аргумента вектора равно нулю, следовательно, его годограф не охватывает начала координат (рис. 5.5, а).

Рис. 5.5. К выводу критерия устойчивости Найквиста: а — годограф устойчивой системы; — годограф устойчивой системы

В противном случае, когда годограф охватывает начало координат, изменение его аргумента не равно нулю и система в замкнутом состоянии неустойчива. Очевидно, что об изменении аргумента вектора удобнее судить по годографу частотной характеристики разомкнутой системы. Действительно, изменение аргумента вектора будет равно пулю (рис. если годограф частотной характеристики разомкнутой системы не охватывает точку с координатами Отсюда следует формулировка критерия Найквиста.

Система РА, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива и в замкнутом состоянии, если годограф частотной характеристики разомкнутой системы не охватывает точку с координатами . В том случае, когда годограф частотной характеристики охватывает эту точку, система неустойчива.

Если система РА содержит интегрирующих звеньев, то начальное значение фазочастотной характеристики равно а амплитудно-частотной — бесконечности, система в разомкнутом состоянии нейтральна. В таких астатических системах для удобства оценки устойчивости годограф дополняют дугой бесконечного радиуса (рис. 5.6). Формулировка критерия устойчивости при этом не изменяется.

Если годограф частотной характеристики разомкнутой системы проходят через точку то система в замкнутом состоянии находится на границе устойчивости.

Аналогичным образом доказывается критерий Найквиста и для случая, когда разомкнутая система неустойчива. При этом система в замкнутом состоянии будет устойчивой, если годограф частотной характеристики разомкнутой системы раз охватывает точку с координатами где число полюсов разомкнутой системы, расположенных на комплексной плоскости справа от мнимой оси.

Рис. 5.6. Годограф астатической системы