§ 2.3. ПЕРЕХОДНАЯ И ИМПУЛЬСНАЯ ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИИ

Рассмотрим случай, когда на систему РА действует единичный сигнал

где -единичная функция, удовлетворяющая условию

Преобразование Лапласа для выходного сигнала системы в соответствии с выражением (2.5) при нулевых начальных условиях имеет вид

Переходный процесс в системе РА, вызванный входным сигналом в виде единичной функции, называют переходной функцией:

где преобразование Лапласа для единичной функции.

Переходная функция вычисляется по формуле обращения

где -полюсы подынтегрального выражения; число полюсов.

Напомним, что вычет в простом полюсе вычисляется по формуле

а в полюсе кратности

Рассмотрим случай, когда на невозмущенную систему РА действует единичный мгновенный импульс или,

что то же самое, сигнал вида -функции

который, как известно, удовлетворяет следующим условиям:

Так как преобразование Лапласа для -функции равно единице, то для выходного сигнала

Переходный процесс, возникающий в системе РА при действии единичного импульса, называют импульсной переходной функцией. Из выражения (2.15) следует, что

Импульсная переходная функция системы РА удовлетворяет следующим условиям:

Первое условие называют условием физической реализуемости системы; оно показывает, что в реальной системе переходный процесс не может возникнуть раньше подачи на вход системы единичного импульса. Второе условие является условием устойчивости системы РА.

Согласно выражениям (2.9) и (2.15),

Интервал времени, на котором импульсная переходная функция отлична от пуля, называют памятью системы (рис. 2.2, а).

Ранее определена импульсная переходная функция стационарной системы РА. В таких системах импульсная переходная функция зависит только от разности времени наблюдения выходного сигнала и времени приложения к входу системы сигнала -функции. В нестационарных системах РА импульсная переходная функция зависит не только от времени наблюдения, но и от времени возникновения входного сигнала (это происходит из-за изменения во времени параметров системы), Если на вход

нестационарной системы подать в момент времени сигнал вида -функции, то импульсная переходная функция не только сдвинется по времени, как в случае стационарных систем (рис. 2.2, а), но и изменится по форме (рис. 2.2, б).

Рис. 2.2. Импульсные переходные функции: а — стационарной системы; б - нестационарной системы

Условие физической реализуемости для нестационарных систем РА имеет вид

Пример 2.1. Определить переходную и импульсную переходную функции системы РА с передаточной функцией

Решение. Преобразование Лапласа для переходной функции находится по формуле (2.8):

где — полюсы системы; постоянный коэффициент. В соответствии с выражением (2,10)

Импульсная переходная функция, согласно (2.16),

Импульсную переходную функцию можно вычислить и по формуле (2.18).