18.3. ПРЕДЕЛ РОША
Предположим, что маленькая твердая сфера радиусом 
и плотностью в движется по круговой орбите радиуса 
вокруг сферического центрального тела радиуса 
и плотностью 
причем масса последнего тела намного больше массы первого. Рассмотрим бесконечно малые пробные частицы массы 
на поверхности сферы, ближайшей к центральному телу. Частицы испытывают влияние гравитационной силы 
со стороны сферы:
и приливной силы от центрального тела:
Приливная сила превышает гравитационную, если
где
Когда вместо маленькой твердой сферы имеется самогравитирующее тело, состоящее из идеальной жидкости, приливная сила будет приводить к его деформации и в случае движения по орбите на большом расстоянии тело примет форму эллипсоида. Если радиус орбиты уменьшается, то тело будет все более деформироваться по продольной оси, направленной на центральное тело, и на достаточно малом расстоянии становится неустойчивым, так как приливная сила превышает его самогравитацию. Это
расстояние гл хорошо известно как предел Роша, определяемый соотношением
где
Внешняя граница системы колец Сатурна находится на расстоянии 
см, что дает 
Поскольку средняя плотность Сатурна 
внешнюю границу можно отождествить с пределом Роша при следующих условиях:
1) плотность зерна равна 
2) зерна ведут себя подобно каплям идеальной жидкости,
3) гравитационным полем всех смежных зерен можно пренебречь.
Мы не располагаем независимым способом определения плотности зерен, поэтому условие (1) может быть верным или неверным.
Согласно некоторым авторам, вещество в кольцах, вероятно, присутствует в виде свободно связанных частиц в форме веретенообразных образований, продольные оси которых касательны к их орбитам, т. е. составляют прямые углы с осями, рассматриваемыми в теории Роша. Другие авторы предполагают наличие подобных удлиненных образований, но с продольными осями, перпендикулярными экваториальной плоскости. Отсюда следует, что условие (2), по-видимому, не справедливо.
Масса кольца так мала, что она не очень сильно возмущает гравитационное поле Сатурна. Однако за счет градиента поля возникает приливный эффект и смежные зерна могут создавать достаточные локальные возмущения. Поэтому сомнительно, чтобы условие (3) удовлетворялось.
Таким образом, можно сделать вывод, что с теоретической точки зрения идентификация внешней границы кольца с пределом Роша не очень убедительна.
Однако с точки зрения наблюдений нет сомнений в том, что внешняя граница кольца обозначает границу между одной областью, где аккреция вещества не приводит к образованию больших тел, и другой областью, где вещество объединяется в спутники. Мы будем называть эту границу «модифицированным пределом Роша» 
Вполне возможно, что этот предел определяется приливным разрушением, но теория в этом случае значительно усложняется и, вероятно, весьма отличается от классической теории Роша.
В области внутри 
вещество должно быть более диспергированным, чем снаружи, поэтому в ней средняя длина свободного
пробега между столкновениями должна быть намного меньше, чем вне 
