6.7. ПРОСТАЯ МОДЕЛЬ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ДИФФУЗИИ
Опишем простой случай, иллюстрирующий, как коэффициент диффузии становится отрицательным. Рассмотрим частицу, ведущий центр которой движется по круговой орбите радиуса
вокруг центрального тела. Сама частица совершает радиальные
Рис. 6.7.1. (см. скан) Простая модель отрицательной диффузии. Показана область столкновения (вверху) двух частиц, ведущий центр одной из которых находится в точке
а другой — в точке
Обе частицы колеблются в радиальном направлении с амплитудой
На
-диаграмме (внизу) столкновение может произойти, если
находится внутри большого треугольника. Если абсолютно неупругое столкновение происходит в области а, ведущий центр из
перемещается во внешнем направлении через
Если столкновение происходит в области
то это вызывает такое же перемещение во внутреннем направлении ведущего центра, который находится в
Если плотность увеличивается с увеличением
частота столкновений в области а больше, чем в
это приводит к диффузии, направленной наружу, т. е. в сторону области с более высокой плотностью. Следовательно, коэффициент диффузии отрицателен.
колебания с амплитудой
относительно ведущего центра. Предположим, что имеется семейство таких частиц, которое мы разделим на две группы: одна снаружи, а другая внутри некоторого радиуса
Для первой группы определим
а для второй
(рис. 6.7.1). Предположим, что
много меньше, чем
Пусть частицы имеют одинаковые массы и одинаковые
и пусть все столкновения между ними абсолютно неупругие. Число столкновений в единицу времени между частицами на
интервале от
до
и частицами на интервале от
до
равно
где
концентрация частиц и
геометрический фактор. Поскольку
если
то столкновения происходят только внутри области, ограниченной большим треугольником на рис.
После столкновения двух частиц радиус их общего ведущего центра равен
таким образом, результатом столкновения является перемещение ведущего центра наружу, за пределы
если
и внутрь, если
Эти области столкновений представлены на рис. 6.7.1 треугольниками
соответственно. Общее число ведущих центров, переместившихся наружу от
равно
Предположим, что плотность изменяется линейно с изменением радиуса
так что можно написать
где
концентрация частиц на расстоянии
постоянная. Если
положительно, плотность увеличивается по направлению наружу; если
отрицательно, то плотность уменьшается по направлению наружу. Имеем теперь
Рассмотрим два равных элемента поверхности — один в треугольнике а, другой в
расположенных симметрично по отношению к границе
Для этих двух элементов сумма
а следовательно, и
одинаковы; но если
то значение
больше для элемента, выбранного в области а, чем для элемента в области
(так как
Интегралы в уравнении (6.7.4) теперь можно вычислить, суммируя по всем таким симметричным парам элементов поверхности, на которые можно разбить треугольники
Таким образом, если
то
При
найдем, что
следовательно, что имеется суммарный церенос ведущих центров через
во внутреннем направлении.
Итак, мы показали, что в результате столкновений в любом случае избыток ведущих центров переносится из области с низкой
плотностью в область с высокой плотностью. Это означает, что коэффициент диффузии отрицателен.