8.2. РЕЗОНАНС И КОЛЕБАНИЯ МАЯТНИКА

Для изучения основных свойств резонансов обратимся сначала к некоторым простым моделям.

Как указывали Браун и Шук [94], имеется некоторое сходство между резонансами в Солнечной системе и движением простого

Рис. 8.2.1. Колебания простого маятника. Если энергия отрицательна, то маятник колеблется с амплитудой средняя скорость равна нулю. Если энергия положительна, движение складывается из равномерного вращения, модулированного колебанием с таким же периодом. Угловая скорость со этого вращения может быть либо положительной, либо отрицательной.

маятника (рис. 8.2.1). Рассмотрим точку массой которая движется по кругу радиуса I под действием гравитационного ускорения Земли Если обозначить угол с вертикалью, то движение будет описываться уравнением

где

Интегрируя уравнение (8.2.1), найдем

где k — постоянная.

Нормируя энергию системы так, что когда маятник находится в покое при получим

и из уравнения (8.2.3) находим, что

В зависимости от величины к имеются три случая:

1) . В этом случае никогда не равно нулю; оно может быть или или Имеем

где при Угол постоянный. Если положить

то можно написать решение [94, стр. 219]

Движение складывается из равномерного вращения с периодом наложенным на колебания с таким же периодом. Движение может происходить в любом направлении или .

2) . В этом случае при где

и решение уравнения (8.2.3) получим в виде

Величина колеблется между — и При малых амплитудах перщод равен при больших амплитудах период увеличивается из-за негармонических членов.

3) Случай означает, что маятник достигает состояния неустойчивого равновесия в крайней верхней точке с нулевой скоростью.

Наименьшая энергия системы достигается, когда маятник покоится в точке Если маятнику сообщается энергия, возникают колебания и их амплитуда увеличивается до тех пор, пока не достигнет . Затем происходит разрывный переход от случая (2) к случаю (1).