3.3. КОЛЕБАНИЯ, ВИДОИЗМЕНЯЮЩИЕ КРУГОВУЮ ОРБИТУ

Круговая орбита может быть видоизменена как радиальными, так и осевыми колебаниями.

Если тело смещено в радиальном направлении от радиуса до то на него действует сила

Поскольку при эта сила равна нулю, получаем

Поскольку круговая частота гармонического осциллятора равна то тело колеблется в радиальном направлении относительно круговой орбиты с частотой

Если тело смещено в направлении (осевое направление), то на него действует сила которая определяется выражением

так как Круговая частота этих осевых колебаний равна

Из уравнений (3.2.4), (3.3.3) и (3.3.5) следует, что

Поместим начало движущейся системы координат веточку, перемещающуюся по невозмущенной (круговой) орбите с угловой скоростью (рис. 3.3.1). Ось х направлена по радиусу, ось у — в тангенциальном направлении вперед по ходу движения. Начало такой системы назовем «ведущим центром». Имеем

где угол, измеряемый от некоторого постоянного направления, отсчитывается от момента, когда ведущий центр проходит это постоянное направление.

Рис. 3.3.1. Приближенное описание кеплеровского движения с помощью метода ведущего центра. Ведущий центр движется с постоянной скоростью вдоль пунктирной окружности радиуса в центре которой расположена притягивающая масса Тело движется по «эпициклу» вокруг ведущего центра. Эпицикл является эллипсом с отношением осей 2/1 и малой полуосью Движение по эпициклу происходит в обратном направлении. Результирующее движение происходит по эллипсу, который почти совпадает со сплошной окружностью с центром в О. Расстояние от О до равно Положение перицентра определяется углом Различие между сплошной окружностью и точным кеплеровским эллипсом фактически меньше толщины линии.

Радиальное гармоническое колебание с амплитудой можно описать выражением

где и К — постоянные. Поскольку С является постоянной, имеем

Поскольку то из уравнений (3.2.4) и (3.3.7)- (3.3.10) находим

где мы ввели

Находим

или после интегрирования

Перицентр (ближайшая точка к центру притяжения) достигается, когда х минимально, т. е. когда

Полагая, что угол равный

определяет положение перицентра, получаем из уравнения (3.3.15) ожидаемую периодичность прохождения перицентра: Таким образом, перицентр движется («прецессирует») с угловой скоростью сор, определяемой уравнением (3.3.12). Подобным же образом определяем осевые колебания:

где — наклонение, постоянная и

Долгота «восходящего узла» (точки, в которой становится положительным) определяется выражением