7.3. ТРИ ПРОСТЫЕ МОДЕЛИ

Чтобы почувствовать зависимость между различными физическими процессами и связанными с ними распределениями по размерам, найдем такие распределения для трех очень простых моделей. Модели описывают развитие больших тел из малых путем аккреции двух видов и образование малых тел из больших посредством фрагментации. Наш основной принцип заключается в описании

процессов аккреции и фрагментации и выявлении ограничений и распределений по размерам, характерных для каждого такого процесса.

7.3.1. АККРЕЦИЯ

В данном струйном потоке, в котором большое число зародышей образуется путем аккреции малых частиц, мы рассмотрим рост во времени одного такого зародыша. Одномерный поток частиц, имеющих объемную плотность сближается с зародышем с внутренней, или относительной, скоростью струйного потока и. Пусть масса зародыша радиус и плотность Сечение столкновения зародыша равно

где скорость убегания для зародыша. Предполагая, что зародыш остается сферическим и что его средняя плотность сохраняется постоянной в течение всего периода его роста, мы можем принять в качестве характерного времени время убегания из уравнений (2.2.3) и (2.2.4). Время убегания зависит от плотности, но не зависит от радиуса зародыша. Скорость убегания теперь можно выразить как функцию времени убегания и радиуса зародыша:

Если все частицы, сталкивающиеся с зародышем, слипаются с ним, масса зародыша будет увеличиваться со скоростью

где предполагается, что не зависит от времени. Положив

из уравнений (7.3.3) и (7.3.1) можем получить

7.3.1.1. Негравитационная аккреция. Если масса зародыша оказывается недостаточной для тоге, чтобы его гравитационное поле притягивало частицы, число соударений частиц, а следовательно, и рост зародыша, не зависят от Мы можем описать это условие, положив и откуда следует, что радиальный

рост зародыша в процессе негравитационной аккреции определяется уравнением

где использовано введенное ранее предположение о постоянстве При этих условиях распределение зародышей по размерам определяется показателями Как видно из табл. 7.2.1, для зтого типа распределения масса и поперечное сечение объединяющихся зародышей сосредоточены в основном в более массивных телах; функция распределения по размерам оказывается постоянной для всех значений

7.3.1.2. Гравитационная аккреция. По достижении определенного радиуса зародыш приобретет достаточную массу для того, чтобы его гравитационное поле притягивало частицы, которые в условиях негравитационной аккреции не соударялись бы с зародышем. Мы можем описать этот случай, приняв откуда следует, что гравитационная аккреция определяется соотношением

Подставляя в (7.3.7) уравнение (7.3.2), получаем

или

При постоянной во времени инжекции малых частиц имеем

что в сочетании с уравнением (7.3.9) дает

следовательно

Таким образом, процесс гравитационной аккреции при условии дает распределение с Как видно из табл. 7.2.1, для этого типа распределения наиболее многочисленными оказываются малые частицы, и на них приходится наибольшая часть поперечного сечсния, однако преобладает масса больших тел.