8.3. ПРОСТАЯ МОДЕЛЬ РЕЗОНАНСА

В качестве примера, демонстрирующего суть резонансного явления, рассмотрим очень простой случай (рис. 8.3.1). Предположим, что вокруг планеты О обращаются два спутника: один со

Рис. 8.3.1. Планета О имеет два спутника: один с массой движущийся по круговой орбите, а другой с пренебрежимо малой массой движущийся по эллиптической орбите. Наклонение орбит равно нулю и отношение средних угловых скоростей близко к 2. Апоцентр внутренного спутника находится в точке а перицентр — в

значительной массой но круговой орбите, а другой с пренебрежимо малой массой по эллиптической орбите. Обозначим через средние угловые скорости тел и и рассмотрим случай, когда отношение близко к 2. Наклонение орбит положим равным нулю.

Если долготы спутников в некоторый момент, то при происходит «соединение». Рассмотрим случай соединения спутников в момент, когда внутренний спутник находится в апоцентре а внешний — в точке а. Из этого следует, что когда сделает 1,5 оборота, внешний спутник будет находиться в точке тогда как внутренний — в перицентре Когда движется от он подвергается притяжению со стороны в направлении движения; следовательно, момент количества движения увеличивается. Когда движение продолжается от на опять действует такая же сила от внешнего спутника, который движется от а к но эта сила будет уменьшать момент количества движения Вследствие симметрии суммарный результат равен нулю (если пренебречь членами высшего порядка).

Предположим теперь, что достигнет точки А у на некоторое время раньше, чем достигнет а. Поскольку орбиты наиболее близки в области взаимодействие в этой области будет преобладающим. Если находится в а, когда сила притяжения между ними будет уменьшать момент количества движения спутника (Обратное воздействие на пренебрежимо мало вследствие малости Период обращения спутника пропорционален С], и поэтому период будет уменьшаться, приводя к тому, что к следующему соединению будет достигать , когда будет еще дальше от точки а. В результате угол 8 между телами, когда находится в своем перицентре, будет увеличиваться.

С другой стороны, если угол отрицателен, так что достигает слишком поздно (например, когда уже достигло момент количества движения будет возрастать, в результате чего станет еще меньше.

Можно сравнить этот результат со случаем маятника, рассмотренным в разд. 8.2, когда он близок к верхней точке Подставляя мы видим, что соединение при характеризуется неустойчивым равновесием. Можно прийти к выводу, что устойчивое равновесие достигается при что соответствует Это означает, что внутренний спутник находится в когда внешний — в точке а. (Из этого следует, что также находится в когда в с. Взаимодействие при этом расположении будет меньше, чем вблизи Авследствие большего расстояния между орбитами.)