ПРЕДИСЛОВИЕ

Набору задач, составляющему содержание этой книги, необходимо, может быть, предпослать более подробное введение, чем обычной математической монографии. Эти задачи рассматриваются как нерешенные в том смысле, что автор не знает их решений. В этом смысле данный небольшой сборник по своему характеру существенно отличается от хорошо известного сборника задач Пойа и Сеге [1].

Вопросы, взятые из различных областей математики, ни в коей мере не являются центральными для этих областей, а, скорее, отражают личные интересы автора.

Основным «лейтмотивом» сборника является теоретикомножественная точка зрения и комбинаторный подход к задачам из теоретико-множественной топологии некоторых элементарных разделов алгебры и теории функций действительной переменной.

По своему духу вопросы, рассмотренные в первой части книги, принадлежат к кругу задач, представленных в Scottish Book. Это был сборник задач, составленный в Польше перед второй мировой войной в основном львовскимн математиками, но при участии других польских и иностранных математиков, посещавших Львов. Автор недавно перевел этот сборник на английский язык и познакомил с ним частным образом ряд лиц. Интерес, вызванный этим сборником у ряда математиков, побудил автора подготовить к печати настоящую книгу. Многие из содержащихся здесь задач впервые появились в Scottish Book, но большая часть материала возникла позже, начиная со времени, проведенного автором в Гарварде (1936 — 1940), и кончая последними годами. Эта часть публикуется здесь впервые.

Многие из задач возникли в дискуссиях с другими математиками и своим возникновением обязаны преходящим интересам момента в различных математических центрах. Кроме того, некоторые задачи для настоящего сборника были сообщены друзьями.

Последние несколько глав имеют другой характер: упор сделан на вычисления с помощью счетных машин с примерами задач, изучение которых при помощи этого современного средства имело бы, по мнению автора, большую эвристическую ценность.

Предпринимались попытки исследовать и решить большинство помещенных здесь задач, но количество времени и внимания, потраченного на эти попытки, было весьма различно. Некоторые из задач изучались другими математиками, которым они были сообщены до выхода книги в свет, но имеются и такие, которые не были полностью исследованы, и автор не будет удивлен, если в книге встретятся задачи, имеющие тривиальное решение. Ббльшая часть задач является, так сказать, задачами средней трудности. Большинство из них заведомо не принадлежит к категории простых упражнений, которые следует решать обычным применением известных лемм и теорем. В то же время одной из наших целей был выбор «простых» вопросов из разных областей математики; простых, например, в том смысле, что для их понимания не нужно никаких узко специальных определений, помимо тех, которые используются в общих курсах теории множеств, анализа и алгебры.

Автор считает, что на чисто эвристическом уровне обзор такого рода, соответственным образом расширенный и углубленный другими, может выявить возможные общие и типичные «причины» трудностей, возникающих в самых различных областях математики.

Состояние, в котором находятся математические исследования в настоящее время, может быть, отличается от их состояния в прошлом своей весьма высокой специализацией. Связи между различными областями становятся настолько незначительными или делаются столь общими и чисто формальными, что они превращаются в иллюзорные. Неоднократно говорилось, что нерешенные задачи есть самая суть математики; конечно, они могут осветить и, в лучших случаях, суммировать и кристаллизовать существо внутренних

трудностей в различных областях. Само существование математики может быть оправдано постольку, поскольку она позволяет просто и кратко изложить факты, доказательства которых значительно сложнее самих утверждений.

Более того, сделанное Гёделем [1] открытие существования в каждой непротиворечивой математической системе, включающей арифметику, недоказуемых теорем делает тем более ценными теоремы «вероятно, правильные». Волнующая возможность неразрешимости, которая теперь a priori существует, сообщает дополнительный интерес если не всем, то по крайней мере некоторым из нерешенных математических задач (см. Вейль [1]).

В течение последних десятилетий непрерывно возрастало различие между развитием математических исследований, вытекающих из чисто математических интересов, и развитием идей, возникших из теоретической физики.

С первого взгляда это может показаться удивительным, так как и идеи, и модели действительности, которыми пользуется сегодняшняя физика, стремятся ко все возрастающей абстракции. Оказывается, однако, что в целом так называемая прикладная математика имеет в настоящее время дело в большинстве случаев с вопросами классической физики, а когда речь идет о новых теориях, то роль математики ограничивается чисто техническим вмешательством. На уровне общих понятий не существует еще, как нам кажется, перекрестного оплодотворения теорий из этих различных областей. По мнению автора, вполне вероятно, что в недалеком будущем широкий класс понятий канторовой теории множеств, оказавших уже свое влияние на многие чисто математические дисциплины, сыграет свою роль в физической теории. Трудности, связанные с расхождениями в современных формулировках теории поля, могут указывать на необходимость создания математического аппарата, способного иметь дело с физическими вопросами, пользуясь с самого начала понятием актуальной бесконечности.

В настоящий сборник включены некоторые элементарные задачи, цель которых — указать характер возможных формулировок и тип математических схем, которые могут быть полезны в некоторых будущих физических теориях.

Теоретико-множественные побуждения, лежащие в основе выбора задач из различных областей, застазили нас выбрать

более элементарные задачи и не позволили дать иллюстрацию более софистических новых идей, например из топологии или алгебры.

Невозможно полностью отдать должное всем, кто внес вклад в идеи, иллюстрируемые приводимыми в книге задачами, но я хотел бы особенно отметить удовольствие от сотрудничества с Банахом, Борсуком, Куратовским, Шрейером и Мазуром в Польше и Джоном Нейманом, Гареттом Биркгофом, Дж. К. Окстоби, П. Ердёшем и К. Эвереттом в США. Благодарю также г-жу Луи Иль и Мисс Мари Оделль за их работу по подготовке рукописи к печати.