9. Задача из вариационного исчисления

Предположим, что на плоскости даны два сегмента длины 1. Требуется непрерывно передвигать первый сегмент, не изменяя его длины, так, чтобы он совпал со вторым и чтобы сумма длин путей, описанных концами движущегося сегмента, была минимальна. Каково общее правило для такого движения? Из уравнения Эйлера — Лагранжа следует, что локально движение представляет собой наложение вращений и переносов. (Задача может быть поставлена для интервалов, заданных в трехмерном пространстве.) Можно потребовать, чтобы

минимальное значение принимала не сумма длин путей, описанных концами отрезка, а корень квадратный из суммы квадратов этих длин.

Аналогичным образом можно поставить более общую задачу о «наиболее экономичном» движении. При этом считаются заданными геометрический объект А и конгруэнтный ему объект В и требуется, чтобы движение от А к В давало минимум суммы или интеграла длин путей, описанных отдельными точками. Это имеет некоторое сходство с задачей Монжа о «рвах и насыпях», но отличается от нее тем, что мы требуем здесь жесткости А во все время движения.

Аргументом в пользу рассмотрения этого вопроса является то, что в некоторых задачах механики сплошных сред, например в гидродинамике, преобладающие движения подчинены экстремальным принципам, напоминающим сформулированный выше. Но там эти принципы действуют в бесконечномерном пространстве.