ГЛАВА VI. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИЗА

1. Устойчивость

Рассмотрим на нескольких примерах понятие об устойчивости математических теорем со следующей, довольно общей точки зрения. Когда можно утверждать, что, «немного» изменяя условие теоремы, мы оставляем справедливым или «приближенно» справедливым ее утверждение?

Это понятие устойчивости естественным образом возникает в задачах механики. Оно содержит там, выражаясь математически, непрерывность решения задачи в зависимости от начальных параметров. Эта непрерывность может быть определена различными способами. Часто достаточно доказать ограниченность решений во времени, например ограниченность расстояния между точкой в начальный момент времени и точкой, представляющей систему в произвольный момент времени.

Не нужно подчеркивать тот факт, что проблемы устойчивости встречаются и в других разделах физики и даже в чистой математике.

Мы не будем пытаться формулировать наиболее общее определение устойчивости. Это можно было бы делать, вводя соответствующие физическим теориям функциональные пространства и различные метрики в этих пространствах. Мы удовлетворимся вместо этого указанием некоторых отличительных черт понятия устойчивости, которые проявляются в чисто математических формулировках. В частности, мы сформулируем некоторые задачи, относящиеся к устойчивости решений функциональных уравнений.

Для весьма общих функциональных уравнений можно поставить следующий вопрос. При каких условиях решение

уравнения, немного отличающегося от данного, будет заведомо близко к решению данного уравнения? Аналогично, если мы заменим данное функциональное уравнение функциональным неравенством, то при каких условиях можно утверждать, что решения неравенства лежат близко к решениям точного уравнения?

Не пытаясь определить наиболее общий класс функциональных уравнений, для которых это имеет место (напомним высказывание Пуанкаре: «Невозможно дать общее определение функциональных уравнений»), ограничимся примерами. В элементарном случае хорошей иллюстрацией является результат Хайерса [1], дающий решение задачи, поставленной автором:

Если есть действительная измеримая функция, определенная на всей действительной оси и для всех х удовлетворяющая неравенству

то можно показать, что существует линейная функция такая, что

Мы будем говорить при этом, что функциональное уравнение, выражающее собой свойство линейности:

остается устойчивым при замене его неравенством. (Между прочим, даже для неизмеримых можно утверждать, что решение неравенства близко к некоторому — вероятно тоже неизмеримому — решению точного уравнения.)

Можно поставить значительно более общий вопрос: для каких метрических групп справедливо, что всякий -автоморфизм близок к точному автоморфизму. (Под -автоморфизмом понимается такое преобразование группы О в себя, что для всех Положительный ответ на наш вопрос означает тогда существование постоянной зависящей только от О, и функции удовлетворяющей уравнению а а и, конечно, зависящей от такой, что для всех х. Мы требуем, чтобы это выполнялось, например, для всех непрерывных или измеримых Вышеуказанный

результат Хайерса решает задачу для случая, когда О — аддитивная группа действительных чисел. Хайерс получил результаты также в случае, когда О представляет собой более общее векторное пространство. Другая работа, написанная Хайерсом совместно с автором, утвердительно отвечает на поставленный вопрос для некоторых бесконечномерных векторных пространств.

В этом и других примерах следует указать, что формулировка устойчивости «в целом» требует наличия метрики в функциональном пространстве. Это, конечно, имеет место во всех классических постановках вопросов устойчивости для дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений. Можно требовать слабой (точечной) сходимости решений или более сильной, равномерной сходимости по норме (см. Хайерс, Улам [1, 2]).

Интересно, что понятие устойчивости в вышеуказанном смысле может быть введено даже для дискретных структур. Таким образом, например, Шапиро [1] ответил на вопрос автора следующим результатом. Если есть «с точностью до к» автоморфизм всех вычетов по где - «большое» простое число, целое число, «много меньшее» чем то при соответствующих условиях есть точный автоморфизм.

Вопросы устойчивости конфигураций или конструкций можно ставить также в элементарной геометрии.

Простым примером, представляющим собой в то же время «квадратичную» задачу в противоположность рассмотренным выше линейным, является вопрос о том, всегда ли конструкция теорем Паскаля и Бриашона для произвольной шестерки точек, расположенной на непрерывной кривой, близкой к кривой второго порядка, дает точки, расположенные почти на прямой, или почти совпадающие прямые.

Другой пример из метрической геометрии. Хайерс и Улам [1, 2] показали, что преобразование евклидова пространства, которое изменяет все расстояния не больше чем на всегда близко к изометрическому, т. е. к преобразованию, строго сохраняющему расстояния.

Неизвестно, сохраняется ли это свойство для достаточно общих метрических пространств.

В этом же плане возникает много других вопросов о преобразованиях. Можно показать, что преобразование

евклидова пространства, почти сохраняющее меру, близко к преобразованию, точно сохраняющему меру всех подмножеств.

Можно ли доказать это для более общих пространств с мерой?

Будет ли почти ламинарное преобразование всегда близко к преобразованию в точности ламинарному?

Что может быть сказано о преобразованиях с малым ротором? Вопросы такого рода об устойчивости свойств дифференцируемых потоков приводят к общим вопросам об устойчивости дифференциальных выражений. Следующая теорема также была замечена Хайерсом и Уламом [4].

Пусть действительная функция на прямой, производная которой для некоторого и предположим, что меняет знак в окрестности

Для каждого существует такое, что для каждой функции класса удовлетворяющей условию найдется точка такая, что Примечательным является, может быть, тот факт, что гипотеза содержит только сами функции и число 8 зависит только от

Можно частично обобщить этот результат. Пусть непперывная функция трех аргументов такая, и предположим, что изменяет знак в окрестности Тогда снова для всякого найдется такое, что для каждой функции класса отстоящей от не больше чем на 8, существует точка близкая к такая, что

При каких условиях предыдущая теорема может быть обобщена на функции вида или вида Наиболее интересный вопрос этого рода, относящийся к функциям двух переменных, есть вопрос об одновременном обращении в нуль нескольких частных производных в точке Здесь следует быть осторожным со смыслом выражения «меняет знак» в окрестности данной точки. Кажется необходимым предположить по меньшей мере, что в окрестности точки встречаются все комбинации знаков. Очень мало известно об этих вопросах в -мерном случае.

Вариационное исчисление «в целом», развитое Морзом [1], имеет дело с качественными или топологическими определениями критических точек функций нескольких переменных. Эта теория дает общую качественную основу для изучения поведения функции вблизи точек, в которых обращаются в нуль производные первого порядка.

Наши замечания указывают, что, по-видимому, могут существовать топологические определения, относящиеся к выражениям, содержащим производные высших порядков.

До сих пор мы имели дело с устойчивостью решений некоторых функциональных уравнений при замене этих уравнений неравенствами. Можно изучать этот вопрос, когда неравенство задано с самого начала. Например, имеется результат Хайерса и Улама [3], утверждающий, что почти выпуклая функция близка к строго выпуклой. В наиболее элементарном случае это означает, что решение функционального неравенства

есть функция, которая всюду отличается от выпуклой функции не больше чем на фиксированное кратное

Вопрос о малых деформациях явно рассматривается в топологии, которая, как однажды определил Пуанкаре, есть наука о свойствах фигур, остающихся справедливыми, даже когда фигура начерчена неумелым чертежником.

Это определение требует большего, чем инвариантность свойств множества при взаимно однозначных и непрерывных преобразованиях или гомеоморфизмах. Оно, по-видимому, требует такой инвариантности относительно более общих -преобразований. Известно, что многие топологические свойства остаются инвариантными при таких преобразованиях. Например, два многообразия, которые -деформируемы друг в друга при любом имеют одни и те же числа Бетти и другие топологические инварианты. Однако имеется много топологических свойств, для которых эта более общая инвариантность еще не доказана.

Интересно не только доказать, что для достаточно малого данное топологическое свойство остается инвариантным при -деформации, но также найти максимальное значение этого . Под -деформацией понимается здесь следующее: рассматриваются все непрерывные отображения множества

с некоторой метрикой в другое множество такие, что никакие две точки, отстоящие друг от друга больше чем на не переходят в одну и ту же точку. Другими словами, преобразование не склеивает никакую пару точек, расстояние между которыми больше или равно Предположим, например, что данное множество есть -мерной единичной сферы). Теорема Борсука и Улама [2] утверждает, что если это множество отображено в некоторое множество в евклидовом пространстве таким образом, что никакие две точки сферы, расстояние между которыми больше чем некоторое не склеиваются (не имеют общего образа), то образ также делит евклидово пространство по меньшей мере на две различные области. Наилучшая (наибольшая из возможных) в этом случае найдена. Представляет интерес аналогичное определение таких констант для других топологических свойств. Например, предполож что есть тор, метрически заданкый в евклидовом пространстве как произведение двух окружностей радиуса 1. Требуется определить максимальное число такое, что если это множество отобразить в евклидово пространство так, что никакие две точки, удаленные больше чем на не склеиваются, то образ имеет положительные числа Бетти. (Сравните с задачей о квазинеподвижных точках из предыдущей главы.)

Теоремы и задачи, относящиеся к устойчивости (обращения в нуль) дифференциальных выражений от функций переменных, указанные выше, могут быть рассмотрены также для функционалов.

Если мы рассмотрим типичную элементарную задачу о нахождении экстремума функционала

то возникает вопрос, аналогичный соответствующему вопросу о производных от функций конечного числа переменных, а именно, каковы условия, гарантирующие, что для каждого существует такое, что для всех достаточно «регулярных» удовлетворяющих условию существует минимум функционала

для которого Мы предполагаем здесь только близость и ничего не предполагаем относительно близости их частных производных, входящих в уравнение Лагранжа. Выражаясь «описательно», вопрос состоит в следующем: при каких условиях справедливо, что решения двух вариационных задач, отвечающих «близким» физическим данным, должны быть близки друг к другу. Положительные теоремы такого рода должны гарантировать устойчивость решений физических задач даже по отношению к введению малых добавочных «скрытых» параметров. Так как такого рода вопрос об устойчивости в настоящее время не ясен даже для обыкновенных дифференциальных уравнений, то на данном этапе, вероятно, бесполезно рассуждать с этой точки зрения о более общих формулировках, касающихся дифференциальных уравнений с частными производными. Следующее замечание, однако, может быть, стоит сделать. Во многих математических формулировках физических задач было бы желательно добавить к хорошо известным требованиям Адамара о существовании и единственности решения и его непрерывной зависимости от начальных условий еще дополнительное требование, А именно, решение должно быть устойчиво в более сильном смысле, разъясненном нами выше: оно должно непрерывно изменяться, даже когда сам оператор подвергается «малым» изменениям.

Понятие устойчивости может быть введено самым общим образом даже в дискретных математических структурах. Можно, например, представить себе такое определение расстояния между утверждениями в некоторой формальной логической системе, что определения множеств, которые близки друг к другу, скажем, в смысле расстояния по Хаусдорфу, будут в этой системе отвечать близким точкам.