ГЛАВА 1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

1. Вводные замечания

Наиболее знаменитая нерешенная задача теории множеств — это хорошо известная континуум-гипотеза Кантора, которая утверждает, что мощность множества всех действительных чисел равна мощности общей мощности всех вполне упорядоченных несчетных множеств, все сегменты которых конечны или счетны.

Мы не будем здесь обсуждать эту гипотезу. В книге Серпинского [1] из Polish Monograph Collection рассматриваются всевозможные ее формулировки, а также задачи, которые на первый взгляд кажутся более «конкретными», но в действительности или эквивалентны континуум-гипотезе или логически связаны с ней.

Гёдель [2] исследовал этот вопрос с точки зрения некоторых специальных аксиоматизаций теории множеств. Основной результат этих исследований состоит в том, что во многих таких системах гипотеза Кантора или верна, или является независимым утверждением.

Точно так же справедливым или независимым является утверждение относительно того, что некоторые подмножества системы действительных чисел с «парадоксальными» свойствами являются проективными множествами в смысле Лузина [1].

Проблема континуума не может тем не менее рассматриваться как решенная, поскольку никакая из имеющихся аксиоматик теории множеств не может еще рассматриваться как окончательная или всеобъемлющая, и в настоящее время

невозможно утверждать, что «наивная» теория множеств или интуитивное представление о том, чем она должна быть, обрела окончательную аксиоматическую формулировку.

По-видимому, точка зрения Гёделя в настоящее время такова, что в достаточно широкой и «свободной» аксиоматике теории множеств гипотеза континуума окажется неверной. Такое же чувство, основанное на указаниях, исходящих из результатов теории проективных множеств и абстрактной теории меры, в течение многих лет было и у автора.

Некоторые результаты, например в теории меры, справедливые при условии правильности континуум-гипотезы, имеют место также при более слабой гипотезе: «с меньше, чем первый недостижимый алеф». Например, из этой гипотезы следует несуществование вполне аддитивной меры, равной нулю для множеств, состоящих из одной точки, и определенной для всех подмножеств интервала (Улам [1]). Автору кажется, что в «разумной» системе аксиом теории множеств даже эта более слабая гипотеза может оказаться неверной.

Другая, может быть, менее широко известная задача из общей теории множеств — это следующая проблема, поставленная Суслиным. Пусть С — такой класс множеств, что каждые два множества этого класса или не имеют общих точек, или одно из них содержится в другом. Каждый (бесконечный) подкласс С, состоящий только из попарно непересекающихся множеств, счетен и каждый подкласс, не содержащий двух попарно непересекающихся множеств, также счетен. Будет ли все С счетно? Существует много эквивалентных формулировок этой задачи и интересные частные результаты, но задача в целом должна рассматриваться как нерешенная (ср. Биркгоф [1], стр. 47). Настоящее состояние проблемы Суслина и связанных с ней вопросов является, таким образом, одним из многих указаний на то, что абстрактная теория множеств далеко не представляет собой завершенную или «мертвую» область. Напротив, комбинаторика бесконечного, изобилующая задачами, вызвала широкие исследования, которые в настоящее время, по-видимому, только начинаются и предмет которых даже не сформулирован в систематической и общей форме.

Действительно, можно обобщить и заново сформулировать многие задачи типа имеющихся в книге Нетто [1] по

комбинаторике или монографии Мак-Магона [1] таким образом, чтобы получить нетривиальные задачи о бесконечных множествах. Возвращаясь к проблеме Суслина, можно эквивалентным образом сформулировать ее в абстрактной булевой алгебре или более общим образом в терминах операций теории структур (ср. Биркгоф [11).

Трудные задачи возникают уже в довольно простых коммутативных структурах, например при изучении бесконечных (скажем, счетных) булевых алгебр, эквивалентных исчислению высказываний, но особенно в более общих алгебрах, в которых в дополнение к булевым операциям введены операторы проектирования, соответствующие логическим кванторам (ср. Эверетт и Улам [1]).

В таких алгебрах возникают даже более глубокие вопросы, которые могут рассматриваться как относящиеся к чистой теории множеств (Халмош [1]).

Далее, в теории множеств применяются операции, идущие далее всех перечисленных, а именно переход к переменным более высокого типа, т. е. образование классов множеств, классов этих классов и т. д., так что возможно алгебраически изучать математические системы еще большей общности. В наивной теории множеств можно формулировать задачи, связанные с повторением перехода к переменным более высокого типа, изучаемым само по себе. Мы удовлетворимся тем, что укажем одну такую задачу.

Рассматривается «сверхкласс» К объектов, который замкнут относительно операции образования класса всех подмножеств. Отправляясь, скажем, от множества всех целых чисел, мы строим класс всех подмножеств данного множества. Это есть множество, которое мы обозначаем класс всех подмножеств обозначается и т. д. Кроме того, класс К замкнут относительно следующей конструкции: если есть счетное множество классов множеств, принадлежащих К, то мы строим класс всех возможных последовательностей множеств Потребуем, чтобы класс всех таких последовательностей также принадлежал К. Пусть К — наименьший класс, замкнутый относительно обеих этих операций. Возникает вопрос о классификации элементов К с помощью порядковых трансфинитных чисел и об определении мощностей множеств, образующих элементы К.