3. Эргодический феномен

В этом разделе мы будем иметь дело с итерациями функций и преобразований, точнее, с асимптотическими свойствами последовательности итерированных образов точек. Успехи эргодической теории за последние несколько десятилетий в значительной степени, если не полностью, прояснили математические основы статистической механики. Грубо говоря, в настоящее время существуют аналоги теоретико-вероятностных законов больших чисел в форме эргодических теорем. Значительно менее полон детальный анализ теорем, аналогичиых теоремам типа Гаусса — Ляпунова. Упомянем здесь попутно, что часто бывает важно иметь дело с преобразованиями некомпактных пространств, например всего евклидова пространства, в себя. Некоторые теоремы, первоначально сформулированные для компактного случая, могут быть в соответствующей формулировке обобщены для таких преобразований. Так, например, теорема Кронекера — Вейля

о существовании эргодических средних для вращений в -мерном пространстве может быть до некоторой степени обобщена, следующим образом.

Пусть произвольное линейное преобразование -мерного евклидова пространства в себя. Пусть С — некий конус направлений в пространстве. Для почти всякой точки последовательность итерированных образов имеет время пребывания в С. Другими словами, эргодический предел углов существует для почти всех начальных точек

Если преобразование

-мерного евклидова пространства в себя линейно:

с положительными коэффициентами то хорошо известно (Фробениус — Перрон), что существует единственный положительный характеристический корень и единственный единичный инвариантный вектор с положительными компонентами такой, что Больше того, для каждого вектора с положительными компонентами последовательность точек на единичной сфере

сходится к Эти факты устанавливают существование «устойчивых» распределений во многих задачах, в том числе в задачах о размножении и диффузии частиц.

Нет оснований надеяться на простой результат такого рода в случае, когда преобразование нелинейно. Такие преобразования, естественно, встречаются в различных физических задачах, имеющих дело с взаимодействием между размножающимися и диффундирующими частицами.

Например, если в процессе размножения принимается во внимание уменьшение среднего значения, то уравнение

моментов потока вероятности нелинейно. Также, если имеются частицы, скажем, двух разных типов и размножение каждого зависит от имеющегося числа частиц обоих типов, то соответствующее преобразование также нелинейно.

Чтобы проиллюстрировать простейший тип вопросов, которые возникают в такого рода случаях, предположим, что преобразование имеет форму

где линейные функции, а ?— квадратичные формы переменных

Интересные задачи возникают в связи с асимптотическим поведением последовательности направлений вектора порожденных итерациями преобразования исходя из начального вектора х. Теорему Фробениуса, может быть, можно обобщить до следующих теорем, которые мы формулируем как предположения:

1. Если дан конус С направлений, выходящих из начала координат, и «почти произвольный» вектор то существует «время пребывания» итераций в С.

2. Для данного конуса С «время пребывания» итераций в С может зависеть от х, но в этом случае существует только конечное число возможных значений времени.

Последнее предположение, если оно справедливо, означает, что пространство расщепляется на конечное число непересекающихся подмножеств таких, что векторы, принадлежащие каждому подмножеству, имеют одно и то же время пребывания в С.

Исследование итерационных свойств преобразований такого рода объясняется значительным количеством сводящихся к ним физических задач.

Так, уравнение где вектор, в разностной форме имеет вид

т. е. сводится к преобразованию

и его итерациям.

Уравнение с частными производными вида

написанное в разностной форме на конечной сетке, может быть рассмотрено точно таким же образом. Здесь функция в фиксированный момент рассматривается как вектор

Вектор и в момент задается как функция от и в момент уравнением вида

Задачи, возникающие для квадратичных преобразований в пространствах двух или большего числа измерений, кажутся довольно трудными. Интересно более детально рассмотреть одномерный случай.