7. Уравнение Шредингера

Если в уравнение Шредингера, не зависящее от времени,

ввести «временной» параметр с помощью подстановки

то оно приводится к виду

Наименьшее собственное значение и соответствующая характеристическая функция могут быть приближенно найдены с помощью следующего расчета.

Представим себе, что множество воображаемых точечных частиц, которые в точке размножаются соответственно данной функции распространяется в пространстве случайным образом, т. е. совершает случайный путь, как указывает имеющийся в уравнении оператор Лапласа.

«Игра», в которую играет машина, состоит при этом в обработке большого числа частиц, каждая из которых

блуждает в пространстве и в то же время размножается в каждой точке согласно данной потенциальной функции.

После обработки большого числа частиц получается распределение, которое асимптотически стремится к распределению с плотностью Можно разумным образом ввести граничные условия. Обычные условия на бесконечности выполняются в такой модели автоматически, а условия на конечных поверхностях могут быть удовлетворены введением соответствующих правил, например поглощением частиц на таких поверхностях.

Этот процесс дает наименьшее собственное значение и его характеристическую функцию. Получать такими методами последующие собственные значения и соответствующие характеристические функции с каждым следующим шагом становится значительно труднее. Например, чтобы получить вторую характеристическую функцию, нужно исходить из распределения частиц двух типов («черных» и «красных»), отвечающих положительным и отрицательным значениям функции. Нужно начать с некоторого распределения частиц, ортогонального к первой собственной функции (предполагая, что она уже определена), и затем подвергнуть эти частицы процессу размножения и диффузии с соответствующим условием взаимного уничтожения красныхи черных частиц, попадающих в одну и ту же точку (реально — в зону пространства). Асимптотическое распределение будет представлять собой вторую собственную функцию.

Такой статистический подход обладает преимуществом в задачах, в которых число измерений велико и потенциальная функция настолько сложна, что аппроксимация с помощью обычных методов становится недопустимо длинной.

Однако основная особенность этого подхода состоит в следующем. Пусть требуется узнать значения данных функционалов на неизвестном решении При классическом подходе для этого нужно «знать» значения в достаточном числе точек. С помощью статистического подхода, подобного вышеприведенному, такие функционалы могут быть вычислены испытанием тех значений которые получены вычислением. Это есть общая черта так называемого метода Монте-Карло, который мы коротко опишем в следующем пункте.