5. Другие метрические задачи

Охарактеризовать все множества на плоскости такие, что расстояние между любыми двумя точками множества рационально. (Может ли такое множество быть плотным?)

В другом месте этого сборника упоминалась задача о введении метрики в абстрактную алгебраическую структуру (например, группу) таким образом, чтобы групповые операции были непрерывны в этой метрике и топология, возникающая от введения этой метрики, имела определенный тип. Поставим здесь несколько неопределенный вопрос. Пусть дано метрическое пространство. Можно ли в нем ввести метрику, которая ведет к данной топологии, причем «наиболее естественную» среди всех таких метрик?

Можно попробовать сформулировать точные вопросы, в которых будут конкретно определены некоторые аспекты понятия «наиболее естественный». Например, если дано топологическое пространство, то можно ли найти в нем метрику такую, что группа всех изометричных относительно этой метрики преобразований будет максимальной в следующем смысле: ни для какой другой метрики (ведущей к той же топологии) группа изометричных преобразований не содержит эту группу в качестве подгруппы.

В частности, является ли евклидова метрика, определенная на поверхности -мерной сферы, максимальной в этом смысле? Тот же вопрос для сферы в гильбертовом пространстве и обычной метрики. Очевидно, вообще говоря, что топологическое пространство будет иметь много различных максимальных метрик в вышеуказанном смысле. Можно, может быть, рассматривать метрику, введенную в топологическом пространстве, как устойчивую, если преобразования «почти изометрические» необходимо близки к строго изометрическим преобразованиям (см. гл. VI, п. 1). Вопрос: в каких топологических пространствах можно ввести метрику, устойчивую в указанном смысле? Желательно, конечно, чтобы такая метрика была также и максимальной.

Без этого требования задача может не иметь особого смысла, так как, вообще говоря, можно найти метрики, для которых изометричным является только тождественное преобразование.

Было бы также интересно рассмотреть в некоторых алгебраических структурах такое введение метрики, что алгебраические автоморфизмы являлись бы изометрическими преобразованиями, но в этот вопрос мы углубляться не будем.