8. Теоремы Витали — Лебега и Лапласа — Ляпунова
Имеется классический результат («теорема Витали — Лебега») в теории функций действительной переменной: почти каждая точка множества 
положительной меры имеет плотность 1.
Это значит, что если 
есть последовательность стягивающихся к точке 
интервалов (с центром в этой точке) (т. е. 
при 
), то
Можно попробовать усилить эту теорему, установить быстроту этой сходимости к 1. Например, зная, что
можно ли утверждать большее; например, справедливо ли, что для каждого 
и почти каждого 
Можно, очевидно, ограничить множество 
классом 
-множеств. Если 
есть открытое множество, то 
для всех достаточно больших 
Для множеств, которые являются одновременно 
и 
-множествами, усиление теоремы плотности кажется вполне возможным вплоть до
оценки для произвольного 
меры множества точек 
для которых
Подобное исследование возможно и в эргодической теории. Пусть 
пространство с мерой (скажем, евклидов куб), 
сохраняющее меру метрически транзитивное преобразование 
на себя.
Эргодическая теорема утверждает, что почти для всех 
и для любого множества А положительной меры те 
где 
характеристическая функция 
(гл. VI, п. 2, 4, 7). Иначе говоря,
Что можно сказать об отношении 
Конечно, для некоторых сохраняющих меру преобразований этот предел равен нулю. Например, если 
есть преобразование «сдвига» 
этой главы), то «центральная предельная теорема» Лапласа — Ляпунова, примененная к «случаю Бернулли», дает, что 
для всякого 
Справедлива ли эта оценка почти для всех 
указанного типа (ср. Феллер 
