10. Взаимодействие человека с машиной

Дополнительно и, некоторым образом, за пределами вышеприведенных способов использования электронных счетных машин можно представить себе более общие возможности для широких экспериментов в задачах? чистой математики или в исследовании разного рода идей в физических теориях. Программа, которая будет очерчена ниже, требует некоторого оборудования дополнительно к существующим электронным машинам и некоторого изменения в их действии. В настоящее время это оборудование еще не выпускается, но скоро будет выпускаться, так как инженерная работа в этом направлении все время ведется.

В очень общих чертах можно сказать, что современные машины действуют на основании множества данных инструкций, которые, будучи однажды заданы, предписывают машине (автономную) последовательность действий в решении задач математического анализа или физики. Ограниченная «гибкость» машины состоит, грубо говоря, в том, что в некоторый момент она может выбирать какой-либо один из предписанных заранее путей вычисления в зависимости от чисел, полученных на предыдущем этапе. Эти так называемые решения, производимые машиной, на практике позволяют обычно только ограниченное и заранее предписанное множество изменений в заданном ей логическом курсе.

Можно представить себе более общий план. Вместо того чтобы использовать машину как робот или как механическое пианино, мелодии которого записаны заранее, можно заставить ее находиться в постоянном контакте с мыслящим оператором, который в процессе вычислений, оценивая полученные результаты, изменяет по своему желанию даже логический характер задачи. Конечно, такие возможности существуют и сейчас, но пока они очень ограничены. Мы попробуем на некоторых примерах показать, насколько

полезной может оказаться более тесная связь между машиной и оператором.

Во-первых, очевидно, что вычислительная машина может весьма быстро рассчитывать примеры геометрических Или комбинаторных ситуаций, которые затем могут быть изучены математиком. Таким образом, она, очевидно, может, и притом гораздо более эффективно, играть роль, аналогичную карандашным наброскам, которые человек, решающий задачу, делает для наглядности или запоминания чего-либо. Конечно, машина может быстро производить утомительные и трудоемкие аналитические или алгебраические выкладки. В поисках примеров или контрпримеров машина может рассчитать и затем представить для обозрения элементы геометрических объектов, рассматриваемые работающим математиком, и служить ему удобным «карандашным наброском», если не аудиторией, на которой он может пробовать свои идеи.

Очевидно, что для деятельности такого рода необходим быстрый доступ к машине и необходимо найти способ в течение короткого времени существенно изменять ее программу. Далее, машина должна быстро представлять в обозримом виде вычисленные величины и фигуры. Другими словами, задача состоит в конструировании путей, по которым машина получает информацию о желательном направлении вычислений и обратно выдает информацию о полученных результатах.

Довольно широким полем применения такой техники явится изучение свойств функций многих переменных. Во многих задачах важно найти критические значения функции нескольких действительных переменных где функция задана аналитически, например как многочлен от элементарных функций или как отношение таких многочленов. Хорошо известно, что обычный процесс, применяемый для того, чтобы найти, скажем численно, локальные минимумы или максимумы некоторой функции, требует весьма длительного поиска. Для большого числа независимых переменных, например для 5 или более, не существует действительно эффективного метода вычисления всех критических точек. Представим себе теперь, что значения функции могут быть быстро сосчитаны на решетке из точек, которые образуют, скажем, двумерное сечение в данном пространстве, и полученная функция двух переменных, т. е. поверхность, представлена в перспективе на экране, как

в проекции. (Имеется готовый код для вычисления аксонометрических проекций.) Глаз быстро замечает область или области, «подозрительные» на минимум. С помощью быстрого изменения шкалы и дополнительного подразделения выделенной области счетная машина может действовать как микроскоп произвольной силы.

Смысл наших утверждений в том, что в поисках критических точек можно вместо слепого следования рецептам поискового кода использовать зрительное восприятие мозга, которое пока еще намного быстрее, чем любой известный в настоящее время автоматический код для «узнавания». Под критическими точками мы подразумеваем, например, точки пространства, в которых обращаются в нуль все частные производные первого порядка от данной функции. Кроме того, визуально можно обнаружить другие свойства функции (например, для случая двух переменных), скажем, найти долины, хребты и т. д., которые человеческий глаз различает непосредственно, но которые в настоящее время почти невозможно запрограммировать для автоматического поиска на машине, занимающего не слишком большое время.

Более того, для функции 3 или 4 переменных нужно также иметь быстрый способ научить машину выбирать желаемое двумерное сечение, располагать на нем точечную решетку, вычислять значения функции в вершинах этой решетки и представлять их в перспективе на экране. Еще более важной будет способность изменять масштаб независимых и зависимых переменных при помощи общего линейного преобразования. Если есть некоторое преобразование, то желательно «видеть» также преобразование вида где есть данное взаимно однозначное преобразование координат, т. е. сопряженное преобразование. В этих, пока еще элементарных задачах было бы удобно иметь быстрый способ для наглядного представления преобразования Фурье заданной функции. Для окончательного установления характера интересных точек было бы удобно также наглядное представление производных и градиентов от данных функций.

Следующий шаг должен включать изучение неявных функций, т. е. поверхностей в -мерном пространстве. Если функция задана уравнением то хотелось бы иметь наглядное изображение произвольных двумерных сечений этой -мерной поверхности. Можно получить также

представление о трехмерных сечениях, непрерывно передвигая по экрану двумерные сечения. Очевидно, что здесь имеются технические задачи, например постоянство образа на экране.

Следующей, еще более увлекательной целью была бы возможность предусмотреть серию «опытов» с задачами, сосчитанными на машине, так чтобы оператор в результате практики такого экспериментирования мог приобрести некоторое «ощущение» четырехмерного пространства.

Вообразим, например, что мы решаем в трехмерном пространстве задачу о проведении данного твердого тела сквозь данную замкнутую пространственную кривую. Эта задача решается «пробами», так как как будто никакой простой критерий о проекциях не является достаточным для решения вопроса о возможности такого проталкивания. Реальные движения проталкивания тела сквозь кривую могут быть имитированы машиной, которая должна сосчитать последовательные положения твердого тела, следуя данным инструкциям о вращениях и переносах в трехмерном пространстве, быстро переданным с помощью чисел. После каждого пробного смещения исследуется вопрос о контакте между двумя множествами.

Аналогичная задача: провести четырехмерное твердое тело через замкнутую двумерную поверхность Для этой задачи нельзя поставить осязательный или зрительный опыт. Возможно, что до некоторой степени легкость в таких задачах может быть развита длительным экспериментированием на машинах, которые будут рассчитывать последовательные положения данного твердого тела, показывать оператору вид трехмерных сечений и, по меньшей мере, информировать оператора о столкновениях между данной поверхностью и объектом, который не должен к ней прикасаться.

Вышеприведенная задача является, может быть, произвольным, но уже очень сложным примером возможного систематического подхода к практическому приобретению чутья четырехмерной геометрии. Вышеприведенная задача является отчасти топологической, а в основном метрической. Сформулировать и запрограммировать систематическую попытку познакомиться с чисто топологическими свойствами комплексов в четырех измерениях было бы намного сложнее.

Но даже для двух измерений, если вместо одной действительной функции изучать преобразование плоскости в себя,

то, кажется, возможны интересные эвристические методы. Для данного преобразования на плоскости можно изучать свойства итераций этого преобразования, т. е. асимптотические свойства последовательности точек Тк найти неподвижные точки, т. е. такие точки для которых инволютивные точки, т. е. такие точки для которых и инвариантные подмножества плоскости, т. е. множества для которых Если задано аналитически, то нетрудно сосчитать для большого числа точек Затем мы можем представить себе способ связать данные точки с их образами с помощью стрелок на экране. Здесь, как и во всех предыдущих задачах, нелегко ответить на вопрос, каков самый поучительный способ наглядного представления. Вероятно, можно выбрать данные точки на кривой, например на окружности, и затем изобразить кривую, представляющую образ этой окружности. Предположим, что мы хотим найти неподвижные точки некоторого преобразования. Предложение состоит в том, чтобы начать с круга, посмотреть на его образ, затем переместить круг надлежащим образом так, чтобы его образ целиком попал или внутрь круга, или в дополнительную к нему область. Тогда из теоремы Брауэра следует, что неподвижную точку можно найти внутри этого круга. Дальше следует разработать алгоритм для быстрого «управления» начальной кривой, образ которой при преобразовании дает машина, т. е. передвижения ее в любом направлении, изменения ее размера и, возможно, эксцентриситета, если мы начинали с эллипса, и т. д.

Все это с соответствующими изменениями применимо и к -мерному случаю, где мы, конечно, в состоянии представить себе только различные плоские сечения, или, что, может быть, лучше, двумерные сечения первоначальной заданной сферы и ее образа. Такое изучение было предпринято для преобразования, приведенного в п. 3 гл. II. Это преобразование содержит в себе полную информацию об общем алгебраическом уравнении степени. Имеется много нерешенных вопросов относительно неподвижных точек этого преобразования, инвариантных многообразий и т. д. Джон Экли запрограммировал предварительное изучение такого рода вопросов для машины «Whirlwind» в лаборатории Линкольна Массачусетского технологического института в Кембридже, Массачусетс.

Вычисления на машине особенно удобны для представления асимптотических свойств итераций преобразования. Очевидно, что для табулирования хотя бы только интересных точек предпочтительно иметь зрительную оценку итерационных свойств, вместо того чтобы выписывать огромное количество числовых значений.

Числовые значения должны оцениваться по порядку, друг за другом, и, вообще говоря, очень трудно угадать заранее, какие свойства последовательности хотят установить - трудно предвидеть и закодировать заранее желаемые критерии для выбора существенных частных случаев.

Такое взаимодействие между действиями, осуществляемыми машиной с наглядной демонстрацией результата, и решениями, принимаемыми оператором после оценки результатов этих действий, может быть полезно для отыскания решений дифференциальных уравнений с данными краевыми условиями. В простейших случаях обыкновенных дифференциальных уравнений, скажем 2-го порядка, с заданными граничными условиями в двух точках, можно удовлетворить условиям в первой данной точке, затем, интегрируя на машине, предварительно выяснить направление решения раньше, чем оно сосчитано во второй граничной точке и, так сказать, чувствуя это направление, изменять параметр, взятый произвольно в 1-й точке, например, значение 1-й производной. Очевидно, что сознательный поиск может дать экономию времени, намного превосходящую автоматическое программирование очевидных изменений.

Но даже при изучении систем уравнений 1-го порядка, представляя на экране векторное поле (или в случае трех и большего числа измерений — проекции этого векторного поля), можно «на глазок» угадать расположение особых точек и, может быть, получить представление о поведении решения в целом. Дадим пример. Предположим, что задача относится к поведению магнитных силовых линий, появляющихся в пространстве благодаря постоянным токам, идущим по данной кривой или системе кривых, как описывалось в п. 6 этой главы. Люэр и автор рассмотрели решение этой задачи на электронной машине в двух случаях: 1. В трехмерном пространстве ток идет по двум бесконечным прямым — по оси и по прямой Ток идет по замкнутой кривой, образующей простой узел типа «клеверный лист». Задача состояла в изучении качественных топологических черт поля силовых линий

в пространстве. В настоящее время не понятны общие эргодические свойства поля силовых линий, которые представляют практический интерес в магнитной гидродинамике и в астрономии.

Вычисления проводились на машине МАНИАК в Лос Аламосе. Эта работа еще ведется, но без хорошего способа наглядно представить результат продвижение в оценке свойств силовых линий происходит медленно, а оценка полученных числовых данных весьма трудоемка. Зрительное наблюдение позволяет, конечно, уменьшить число попыток, т. е. число начальных точек, из которых начинаются рассчитываемые силовые линии.

При изучении уравнений в частных производных преимущества быстрого обозрения результатов являются, видимо, еще большими. Как на пример того, что мы имеем в виду, укажем на такую задачу. По-видимому, существует довольно глубокая связь между поведением решений уравнения Гамильтона — Якоби

с одной стороны, и задачей о случайных блужданиях с переменным шагом, пропорциональным данной функции V, описываемой уравнением диффузии, с другой. Предположение, доказанное пока только для случая одной пространственной переменной и все еще остающееся гипотезой для двух или трех измерений, касается следующей задачи.

Пусть дана функция Рассмотрим в момент фронт волны Гамильтона — Якоби выходящей из произвольной точки Эту поверхность можно получить с помощью конструкции Гюйгенса как огибающую сфер. С другой стороны, рассмотрим гребень вероятностной функции отвечающей случайным блужданиям из точки с шагом, переменная длина которого пропорциональна в положении значению данной функции V (см. Эверетт, Улам [6]).

Гребнем вероятностной функции мы называем поверхность определенную уравнением . Гипотеза состоит в том, что между функциями существует простая связь; для при соответствующих

предположениях Помимо этого, мы хотели бы высказать здесь уверенность, что поле кривых или связка поверхностей, отвечающих уравнению где — функция Гамильтона-Якоби, будучи соответствующим образом представлено на экране, может помочь получить представление о поведении решений динамической проблемы сразу для большого разног образия начальных условий.

В задачах гидродинамики снова очевидно, что для качественного изучения, например, процесса смешивания двух жидкостей наглядное изображение положения поверхности раздела двух жидкостей или газов (начиная с неустойчивого расположения) позволит хорошо выбрать начальные условия и важные значения параметра. (Один из этих параметров есть значение начального ускорения более легкой жидкости в более тяжелую.) Здесь снова при отсутствии априорного знания о характере движения очень трудно запрограммировать заранее автоматический критерий для выбора таких параметров.

Непосредственную пользу синергия, т. е. непрерывное сотрудничество между машиной и ее оператором, может принести в изучении игр и в самих играх. В последнее время был достигнут некоторый прогресс в программировании для электронных машин таких игр, как шашки (Самуэл, I. В. М. Research Labor. 704) и шахматы (ср. Кистер и др. [1 ])

В то время, как для более простой игры в шашки имеющаяся программа дает машине возможность хорошо разыгрывать начало и середину игры, качество машинной игры в шахматы пока еще очень низко. Несомненно, в течение ближайших нескольких лет здесь будет достигнут прогресс, но автор не верит, что в ближайшем будущем машина сможет играть на уровне мастера!

Промежуточным, и в известном смысле более реальным планом было бы изготовление программ для помощи шахматисту, позволяющих с помощью машины исследовать далеко вперед (например, может быть, на 6—8 ходов) некоторые специальные последовательности ходов и затем быстро показывать предполагаемые положения фигур на экране. Это вместе с расчетом различных оценочных функций, обобщающих уже имеющиеся, возможно существенно улучшило бы игру!

Чтобы играть «на равных», противники должны были бы иметь в своем распоряжении две тождественные машины!

Другими словами, счетная машина, как нам кажется, может выступать в качестве «секунданта» игрока, помогающего анализировать позиции. Автору разумная программа такого рода кажется, по крайней мере, более достижимой, чем вполне автоматическая программа, с помощью которой машина может играть на высоком уровне.

Кроме имеющихся игр, позволительно думать и об изобретении совершенно новых игр, в которые смогут играть два игрока, снабженных машинными помощниками.

Все упомянутые выше примеры относятся к способам облегчить решение данных задач некоторыми общими эвристическими методами или типа Монте-Карло, или состоящими в специфической вычислительной работе. Помимо этого, как нам кажется, счетные машины скоро будут способны, по крайней мере в элементарных случаях, доказывать теоремы с помощью обычного математического формализма.

Интересная работа Рочестера и его сотрудников (Гелерн-тер, Рот и др.) делает правдоподобным получение автоматического кода для доказательства теорем в некоторых элементарных областях (например, в евклидовой геометрии). Создание аналогичной программы для более широких разделов математики, вероятно, потребует длительного времени. Здесь снова следует указать на ббльшую доступность промежуточной программы сотрудничества между человеком и машиной! Действительно, можно начать для практики доказывать теоремы евклидовой геометрии о треугольниках и т. д. Если же хотеть автоматизировать доказательства в проективной геометрии, то наглядное представление геометрических конструкций, рассматриваемых человеком, плюс автоматический поиск с помощью машины рутинных силлогизмов может, конечно, ускорить получение формальных доказательств.