2. Бесконечности в физике

Простейшие задачи, содержащие бесконечное число частиц вещества, появляются уже в классической механике. Их рассмотрение позволит нам ввести более общие схемы, которые, возможно, смогут принести пользу в будущих физических теориях.

Строго говоря, бесконечность в распределении вещества приходится рассматривать во всех задачах физики непрерывной среды. В классической трактовке, в которой эти вопросы обычно излагаются в учебниках гидродинамики или теории поля, это, однако, в действительности, несущественно и в большинстве теорий бесконечность служит только удобной предельной моделью конечных систем, позволяющей использовать алгоритмы вычислений. В обычном способе введения непрерывности многое должно быть подвергнуто критическому рассмотрению и обсуждению. Например, вывод уравнений движения жидкости выглядит приблизительно так. Берется очень большое число частиц, скажем, с равными массами, образующих сетку, которая аппроксимирует подлежащий изучению континуум. Силы, действующие между этими частицами, предполагаются данными, и пишутся уравнения Лагранжа для движения частиц. Конечная система обыкновенных дифференциальных уравнений в пределе при «превращается» в одно или несколько уравнений с частными производными. Законы Ньютона о сохранении энергии и момента кажутся корректно сформулированными для предельного случая континуума. Однако сразу возникает по меньшей мере одно возможное возражение против не ограниченной применимости этой формулировки. А именно! тот факт, что предельные уравнения молчаливо подразумевают непрерывность и дифференцируемость функций, описывающие движение непрерывной среды, как будто накладывает различные ограничения на возможные движения аппроксимирующих конечных систем. В самом деле, в любой момент в стремящемся к пределу процессе вполне можно себе представить две соседние частицы движущимися в противоположных

направлениях с относительной скоростью, которая не обязана стремиться к нулю при в то время как непрерывность решения предельной задачи для сплошной среды исключает такое положение. Существуют поэтому ограничения на класс возможных движений, не являющиеся общепризнанными. Это значит, что с самого начала должна быть введена вязкость или другой тип связей, который выделит «гладкие» движения из множества всех возможных движений. В некоторых случаях поэтому обычные дифференциальные уравнения гидродинамики могут дать ошибочное описание физического процесса.

С другой стороны, численное решение такой системы уравнений с частными производными требует использования модели из конечного числа точек, аппроксимирующих континуум. Соответствующая конечно-разностная схема должна быть тщательно составлена, чтобы обеспечить не только малость расстояний между соседними точками, но и выполнение различных численных условий устойчивости, например так называемых «условий Куранта». Эта необходимость снова указывает на некоторое количество неявных предположений относительно конечной модели, аппроксимирующей механическую систему. Вопрос о том, будет ли предел решений аппроксимирующих уравнений действительно решением предельного уравнения, в общем случае является открытым. Вероятно, в наиболее общем случае это неверно.

На самом деле может оказаться, что в некоторых будущих физических теориях евклидов континуум, постоянно применяемый в настоящее время как модель для распределения вещества, перестанет быть единственной удобной моделью действительности. Кажется возможным, что в некоторых случаях для изображения распределения вещества или энергии могут служить пространства с топологией канторовских (совершенных, нигде не плотных) множеств.