10. Симметрическое произведение

Под симметрическим произведением множества с самим собой понимается класс всех подмножеств самое большее из различных элементов Таким образом, может быть получено из отождествлением всех систем в которых точки образуют то же самое множество. Рассмотрение этого «фазового пространства» является существенным потому, что, например, квантовая статистика Ферми — Дирака действует в подобных пространствах так же, как статистика Максвелла — Больцмана действует в прямом произведении Таким образом, фазовое пространство системы, в которой некоторые частицы неразличимы, есть симметрическое произведение пространств, отвечающих этим частицам.

Если топологическое пространство, то в может быть введена метрика, использующая хаусдорфово расстояние между двумя множествами точек.

Свойства симметрического произведения изучены еще в меньшей степени, чем свойства прямого произведения пространств. Доказано, что в то время как прямое произведение окружностей есть -мерный тор, их симметрическое произведение для есть лист Мёбиуса. Далее, если есть действительный интервал, то для гомеоморфно соответствующему в то время как для это уже не так (Борсук, Улам [1]). Метризованное симметрическое произведение образует аппроксимацию -го порядка пространства всех замкнутых подмножеств компактного пространства (в котором метрика задается хаусдорфовым расстоянием).

Точная топологическая структура и в ряде случаев даже некоторые весьма общие топологические свойства неизвестны (даже когда интервал и Например, не установлено существование неподвижных точек (для произвольных непрерывных отображений).

Можно ли доказать теорему о квазинеподвижных точках (см. для произвольных непрерывных действительных функций в пространствах где поверхность -мерной сферы (ср. Ботт [1]).

Симметрическое произведение, определенное выше, есть только одна из многих различных конструкций, возможных в К интересным пространствам могут привести и другие правила отождествления некоторых точек из Эти возможности не были систематически изучены.

В то время как построение топологического пространства Е” из топологического пространства осуществляется просто, возможность симметризации в случае произведения алгебраической структуры с собой не является очевидной.

По-видимому, не существует простого способа получить симметрическое произведение группы с собой. Фактически симметрическое произведение группового пространства с собой часто (как, например, в случае листа Мебиуса) образует топологическое пространство, на котором не существует непрерывной групповой операции. В некоторых случаях, однако, как, например, для симметрического «квадрата» и «куба» обыкновенной прямой, гомеоморфны соответственно

Это значит, что в может быть непрерывно определен аналог векторного сложения. Это приводит, однако, к довольно искусственному с алгебраической точки зрения правилу «сложения» элементов в или