5. Функции двух переменных

Следующее предположение автора было доказано Захорским [1]. Для каждой функции непрерывной на единичном интервале [0, 1], существует функция аналитическая на [0, 1], и совершенное множество С на этом интервале такое, что для всех из С. Справедливо ли аналогичное утверждение на плоскости, если функции соответственно непрерывная и аналитическая в единичном квадрате и множество С является прямым произведением двух совершенных множеств?

Пусть вещественная непрерывная функция, определенная в «единичном кубе» Существует ли в этом кубе дуга, на которой функция постоянна?

Рассмотрим непрерывную функцию двух действительных переменных, которая ассоциативна, т. е. удовлетворяет условию

например,

Ассоциативная непрерывная функция называется сопряженной к функции если для некоторого

Например, функции сопряжены для положительных х, у при Какие условия на ассоциативную функцию гарантируют, что существует конечное число таких функций сопряженных с при некотором

Очевидно, что класс ассоциативных функций от двух переменных, если требовать только непрерывности, является весьма обширным. Не является ли справедливым утверждение, что каждое непрерывное преобразование плоскости может быть получено композицией конечного числа преобразований где ассоциативны? Интересно сравнить прекрасные результаты Колмогорова [1].