7. Вопросы связности

Предположим, что есть дифференцируемое преобразование плоскости. Если для некоторой точки замыкание С множества всех итераций связно, то будет ли С обязательно локально-связным? (Борсук.)

Пусть две топологические сферические поверхности (т. е. множества, гомеоморфные поверхности сферы) в трехмерном евклидовом пространстве, причем лежит внутри Согласно теореме Жордана — Брауэра разбивает пространство на две непересекающиеся области, и мы предположим, что принадлежит одной из них. Существует ли поверхность , также гомеоморфная сфере, содержащая

внутри себя и содержащаяся внутри Задача не тривиальна, так как хорошо известны примеры Александера, показывающие, что внутренность поверхности, гомеоморфной сфере, может быть не гомеоморфна шару. Аналогичные задачи могут быть поставлены для высших размерностей (Шрейер — Улам [ 1 ]).

Можно обобщить это положение. Пусть даны три поверхности, гомеоморфные сфере такие, что 53 содержится внутри в свою очередь — внутри Можно ли найти гомеоморфную сфере поверхность или содержащуюся внутри и содержащую или содержащуюся в и содержащую ?