6. Примеры из электромагнетизма

Предположим, что дана система постоянных токов вдоль одной или нескольких фиксированных кривых в пространстве. Требуется изучить поле магнитных силовых линий, порождаемое этими точками. Расчет этих линий содержит численное интегрирование простой системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Силовое поле в каждой точке определяется криволинейными интегралами (закон Био-Савара). Мы упоминали выше некоторые вопросы, относящиеся к поведению такой системы кривых «в целом», их топологическим и эргодическим свойствам. Например, в гл. VII, п. 7 приводилась задача о поле, порожденном простым узлом вида «клеверный лист».

Для вычислительных целей такая кривая может быть реализована в виде пространственного шестиугольника.

На электронной вычислительной машине в Лос Аламосе были сначала рассчитаны более простые конфигурации проводников.

Первая изученная система задавалась токами, проходящими через две скрещивающиеся прямые: ось и прямую, параллельную оси и пересекающую ось в точке Магнитную силовую линию, выходящую из произвольной точки пространства, вычисляли приближенно, заменяя ее последовательностью точек, каждая из которых лежит на отрезке, выходящем из предыдущей точки по направлению действующей в ней силы. Беря точки достаточно близкими и внося поправки на изменение поля, можно получить представление о свойствах силовых линий (линий, касающихся в каждой точке соответствующего вектора силы).

Чтобы получить информацию о качественных свойствах таких линий в целом, на машине много раз вычислялась силовая линия, обвивающаяся вокруг каждой из данных прямых. Это делалось с помощью интеграла Гаусса. Некоторые

силовые линии делают петли вокруг одного из проводов, другие — вокруг обоих проводов сразу. На машине будет вычислено также, сколько раз силовая линия пересечет поверхность заданной сферы. Могут быть вычислены и другие простые топологические инварианты, например индекс Кронекера отображения направлений в данную сферу.

Следующая по сложности система состоит из трех прямых проводников под различными углами друг к другу. Эти вычисления рассматривались как подготовительные к расчету поля, порождаемого заузленным шестиугольником.

На вычислении таких целочисленных инвариантов никак не скажется накопление ошибок, неизбежно возникающих при приближенных вычислениях (см., например, работу Борсука и У лама [2] об -инвариантности отображений). Грубо говоря, это происходит потому, что вычисления могут быть проведены так, что поле вектора ошибок в целом свободно от вихря.