8. Полугруппы

Пусть полугруппа (ассоциативная мультипликативная система с единицей). Подполугруппа , принадлежащая называется нормальной, если она обладает тем свойством, что если где то если группы, то нормальность в этом смысле совпадает с обычным определением. Два элемента а и из называются конгруэнтными (где Н нормальна), если существуют элементы из из такие, что Это снова совпадает с обычной конгруэнтностью в случае групп.

Было бы весьма интересно установить для полугрупп аналоги классических теорем о цепочках вплоть до теоремы Жордана — Гёльдера. Мы выскажем следующие положения, некоторые из них могут быть легко доказаны.

Группа всех взаимно однозначных преобразований целых чисел (перестановок) не является нормальной подполугруппой полугруппы состоящей из всех преобразований множества целых чисел в себя. В то же время есть нормальная подполугруппа где совокупность преобразований множества чисел в себя.

Полугруппа состоящая из всех таких отображений множества целых чисел в себя, что только для конечного числа значений есть нормальная подполугруппа Если есть нормальная подполугруппа которая содержит элемент, не принадлежащий

Гомеоморфизмы прямой образуют нормальную подполугруппу полугруппы всех непрерывных функций.

8а. Топологические полугруппы

Задачи А. Д. Уоллеса.

Пусть — компактная связная полугруппа.

1. Если конечномерна, однородна и имеет единицу, то является ли группой? (Да, если размерность равна 1.)

2. Если имеет нуль и единицу, обладает ли свойством неподвижной точки?

3. Если имеет нуль и то может ли быть гомеоморфна с -мерной сферой? (Нет, если размерность равна 1.)