ГЛАВА II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

1. Индуктивная лемма комбинаторного анализа

Мы проиллюстрируем эту лемму сначала на структурах, в которых имеется некоторое бинарное отношение. Предположим, что в двух множествах из элементов каждое, определено расстояние для каждой пары точек, равное 1 или 2 для двух различных точек и такое, что Пусть теперь для каждого подмножества из точек множества А существует изометричная система из точек множества В и число различных подмножеств, изометричных данному подмножеству из элементов, одинаково в и в В. Являются ли изометричными? Это утверждение верно для как показал П. Келли [1], рассмотревший все возможные случаи.

Очевидно, что метрическая формулировка эквивалентна подобному вопросу относительно множеств с данным бинарным отношением имеющим место тогда и только тогда, когда Можно ли указанным способом вывести сохраняющий эту функцию изоморфизм множеств из изоморфизма между подмножествами из элементов.

Аналогичные задачи могут быть сформулированы в других алгебраических системах. В частности, предположим, что —группы порядка Мы будем говорить, что два подмножества из элементов условно изоморфны, если существует взаимно однозначное отображение множества на такое, что если элементы принадлежат то Каково минимальное число обладающее тем свойством, что из условного изоморфизма каждого некоторому следует изоморфизм

Можно усилить предположение, потребовав, чтобы, если система представляет собой I различных подмножеств группы 0, условно изоморфных друг другу, то в группе существовало I различных подмножеств каждое из которых условно изоморфно множествам