2. Операция прямого произведения

С операцией прямого произведения в более или менее явной форме приходится сталкиваться в каждой математической теории, в которой имеется более одной переменной. Она вполне явно используется в топологии, теории групп, теории меры, теории метрических пространств и, в той или иной форме, во многих алгебраических теориях. Кажется, однако, что общие свойства этой операции сами по себе, на теоретико-множественной основе, до настоящего времени не изучались, несмотря на то, что проблемы «многих переменных», возникающие в различных теориях, обладают многими общими чертами.

Понятие фазового пространства в механике есть, по существу, понятие произведения пространств. Состояние системы частиц представляется точкой в прямом произведении пространств, каждое из которых описывает состояние одной частицы. Сами составляющие пространства могут при этом быть бесконечномерными, как, например, в квантовой теории, где состояние одной частицы описывается функцией. Имея дело с бесконечным множеством частиц, как это делается в физике непрерывной среды, необходимо ввести прямое произведение бесконечного числа составляющих пространств. В физике же в связи со статистикой Ферми — Дирака возникает операция несколько иного типа — «симметрическое произведение», — которая также основана на понятии прямого произведения.

В основаниях самой математики прямое произведение явно встречается в каждой теории, содержащей логические кванторы (выражения «существует» и «для всех»; ср. работу Куратовского и Тарского [1]).

Математически квантор существования интерпретируется как проектирование множества, расположенного в пространстве-произведении, на одно из составляющих пространств. Теория проективных множеств, развитая Суслиным и Лузиным [1] и Серпинским [2], выявляет некоторые трудности этой операции проектирования в задачах теории точечных множеств, когда они рассматриваются в топологическом пространстве. Кажется однако, что истинные причины трудностей в теории проективных множеств возникают уже в общей теории множеств, включающей общую теорию

прямого произведения, а не только в топологии вещественной прямой евклидова пространства, где впервые были определены проективные множеств?.

Очевидной является важность для математической логики изучения в чисто алгебраическом духе операции прямого произведения и возможных операций проектирования. Изучение алгебраических свойств булевых алгебр, их структурных изоморфизмов и представлений дает математический образ элементарной логики исчисления высказываний. Аналогично теория таких алгебр, расширенная до включения прямого произведения и операторов проектирования, может дать математическое представление логических систем, в которых допускаются кванторы, и, таким образом, явиться адекватной алгебраической структурой для «конструктивных» математических теорий.

Мы сформулируем сейчас несколько определений и задач, относящихся к прямому произведению множеств.