3. Задачи о базисе

Конечное множество элементов топологической группы, которое порождает подгруппу, плотную во всем пространстве, называется конечным базисом. Имеются отдельные результаты о существовании таких базисов, но систематическое исследование их существования и свойств для общих непрерывных групп, по-видимому, отсутствует. В большинстве тех случаев, для которых доказано, что некий конечный базис существует, не определено минимальное число его элементов. Упомянем здесь некоторые из известных результатов.

Пусть есть группа всех перестановок целых чисел с «естественной» топологией, в которой последовательность перестановок сходится к пределу, если она сходится почленно и если в этом же смысле последовательность обратных перестановок сходится к обратной от предела. В существуют два элемента таких, что порожденная ими подгруппа плотна во всей группе. Действительно, можно показать, что множество произведений степеней этих перестановок образует

плотное множество в (Шрейер, Улам [4]). Таких пар имеется много. «Почти всякая» пара (в смысле категории) может служить базисом

Аналогичное положение возникает в группе всех гомеоморфизмов -мерного евклидова пространства (Шрейер. Улам [1]). Имеет ли эта группа базис, состоящий из дифференцируемых преобразований?

В случае конечномерных топологических групп известно, например, что группа вращений содержит пары элементов, порождающие плотные подгруппы.

В каждой полупростой связной группе Ли существует базис из четырех элементов. Неизвестно, является ли это число минимальным (Шрейер, Улам [3]).

Можно найти пару вращений гильбертова пространства, которая порождает плотную (в слабом смысле) подгруппу группы всех таких вращений (Шрейер [1]).

Меньше известно о топологических полугруппах, но, насколько можно судить по имеющимся результатам, общее положение здесь вполне аналогично положению в случае групп. Так, класс всех много-однозначных преобразований множества целых чисел в себя имеет естественную топологию. Существует конечное число элементов, порождающих подмножество, плотное в полугруппе относительно этой топологии.

Подобный этому результат известен и для полугруппы непрерывных преобразований сферы в себя (Шрейер, Улам [I]).

Пусть через обозначено множество всех гомеоморфизмов -мерного куба на себя, метризованное с помощью функции расстояния:

где расстояния в правой части равенства рассматриваются в евклидовой метрике в

Верно ли, что почти любая (в смысле категорий) пара гомеоморфизмов порождает группу, плотную в

Далее, пусть обозначает -кратное прямое произведение с собой, на которое обычным способом распространена метрика, введенная выше в Будет ли почти каждый элемент пространства давать множество из порождающее в свободную группу с образующими? Тот же вопрос можно поставить относительно полугруппы всех непрерывных, но не обязательно взаимно однозначных преобразований -мерного пространства.

Если заданы два сохраняющих меру преобразования и пространства на себя, то можно рассмотреть множество преобразований, полученных их итерациями:

Каждому действительному числу в двоичном разложении где или 1, мы можем поставить в соответствие последовательность преобразований, интерпретируя 0 как применение и 1 как применение Верно ли, что для почти каждой точки пространства и для почти всех последовательность образов

и т. д. будет равномерно плотной?

Задача такова: является ли эта последовательность равномерно плотной для почти всякой (в смысле категории) пары сохраняющих меру преобразований ?"?

Справедливо ли это для группы Хаара, когда преобразования, полученные умножением слева на два элемента (если группа Хаара простая)?

Кажется правдоподобным, что существуют конечные множества сохраняющих меру преобразований евклидова куба, порождающие группу, плотную в пространстве всех непрерывных сохраняющих меру преобразований. Если бы это было гак, то можно было бы определить меру в пространстве всех несжимаемых потоков, скажем, в трехмерном пространстве.

Эта мера может быть получена рассмотрением лебеговой меры в множестве действительных чисел поставленных в соответствие преобразованиям, как это было указано выше.