2. Аппроксимация гомеоморфизмов En

Пусть евклидова плоскость и группа всех взаимно однозначных и взаимно непрерывных преобразований порожденных множеством всех гомеоморфизмов частного вида:

Произвольный гомеоморфизм может быть сколь угодно хорошо (равномерно в любой замкнутой части плоскости)

аппроксимирован преобразованиями группы G (Эггльстон [1]).

Для -мерного евклидова пространства подобные вопросы могут быть поставлены различными способами в зависимости от преобразований, порождающих группу О. Например, для трех измерений можно рассмотреть группу, порожденную преобразованиями и двумя аналогичными преобразованиями, или группу, порожденную гомеоморфизмами вида Является открытым вопрос: можно ли произвольный гомеоморфизм аппроксимировать преобразованиями, принадлежащими какой-либо из этих групп?

Возможность таких аппроксимаций для произвольного была бы довольно существенной для топологии, так как они дают индуктивный процесс для доказательства различных топологических теорем, например, известного предположения Александера [1] об аппроксимируемости произвольного гомеоморфизма дифференцируемыми отображениями, из которой в свою очередь следует возможность триангуляции топологического многообразия. Основной леммой здесь была бы гипотеза Александера для плоскости (доказанная Винером и Франклином). Недавно Моиз [1] доказал, что трехмерные гомеоморфизмы можно аппроксимировать симплициальными.

Задача настоящего пункта не решена даже для т. е. для в случае, если является более общим топологическим пространством. Далее, в формулировке задачи не обязательно ограничивать преобразования и т. д. гомеоморфизмами. Вопросы аппроксимируемости интересны и в том случае, когда класс преобразований расширяется и включает произвольные непрерывные или, скажем, борелевские преобразования.

Было бы интересно попытаться использовать недавние результаты Колмогорова [1] и Арнольда [1] о представлении функций любого числа переменных композицией функций двух переменных, чтобы получить такие результаты для топологических, т. е. взаимно однозначных преобразований. Другими словами, крайне ценными были бы теоремы, позволяющие только аппроксимацию, а не обязательно точное представление гомеоморфизмов -мерного пространства композицией гомеоморфизмов, каждый из которых действует в пространстве двух измерений.

2а. Об аппроксимации преобразований в трех измерениях композицией цилиндрических отображений

Предположим, что мы рассматриваем наименьшую группу О преобразований, содержащую преобразования вида

где аналитическая функция, и все вращения в трехмерном пространстве. Можно ли сколь угодно хорошо аппроксимировать преобразованиями группы отображения сферы на куб? Более общий вопрос: можно ли приближенно получить отображение полиэдра на любой другой топологически эквивалентный полиэдр композицией двух фиксированных преобразований из группы