5. Случайные канторовы множества

Мы снова рассматриваем счетное множество материальных точек, движущихся благодаря силам, действующим на каждую из них. Опишем теперь некоторые модели распределения масс, которые соединяют дискретный характер со свойствами непрерывности. Один способ задать довольно простое распределение этого рода состоит в следующем. Представим себе точку с массой, равной 1, расположенную в середине интервала [0, 1]. Эта точка может теперь или с

вероятностью навсегда остаться в исходном положении или с вероятностью расщепиться на две частицы, каждая с массой расположенные соответственно в точках Если осуществилась вторая возможность, то мы снова предположим, что каждая из двух масс независимо может, в точности как и раньше, или остаться там, где она есть, или расколоться на две массы каждая по которые попадут в точки для первой из точек для второй. Пусть этот процесс продолжается неограниченно, т. е. каждая из точечных масс может с вероятностью расколоться на две равные массы, расположенные справа и слева от нее, или остаться «мертвой» навсегда. Мы имеем, таким образом, процесс ветвления или размножения, который определит возможное распределение масс в двоично-рациональных точках интервала. Процесс определен двумя константами Если каждая масса будет расщепляться с вероятностью 1, то процесс распространится на все двоично-рациональные точки, причем в пределе в каждой точке окажется нулевая масса. Замыканием нашего множества будет весь отрезок [0, 1]. Если то как результат непрерывного процесса ветвления мы получим счетное множество точек, замыкание которого с вероятностью 1 будет нигде не плотным множеством, состоящим из некоторых изолированных точек и совершенного нигде не плотного множества типа канторовского множества.

Следует различать три случая, а именно субкритические, критические и суперкритические системы. В нашей простой постановке эти случаи отвечают значениям соответственно. В последнем случае имеется конечная вероятность того, что процесс никогда не кончится, и в результате этого процесса мы получим конечный набор изолированных точек и, как замыкание «неоканчивающейся» части процесса, — совершенное множество на всем интервале. Следует уточнить, в каком смысле мы говорим о результате «одного такого процесса». Это означает, конечно, что рассматриваются все возможные исходы такого ветвящегося

процесса. В пространстве всех возможных ветвящихся процессов существует мера, определенная довольно естественным способом (см. Эверетт, Улам [3]). Когда мы говорим о процессе, приводящем с вероятностью 1 к множеству с данными свойствами, мы имеем в виду, что подмножество множества всех процессов с данными свойствами имеет меру 1 в пространстве всех возможных процессов.

Можно рассматривать множества точек, полученные вышеуказанной конструкцией, как описывающие «возможные положения физического объекта», или рассматривать само пространство как набор возможных символов, порожденных таким способом. Эти множества, вообще говоря, не образуют евклидова континуума. С другой стороны, они не состоят из дискретного множества точек. Очевидно, что аналогичный процесс может быть осуществлен в пространствах с размерностью, большей 1. Можно, например, осуществлять наше разветвление независимо во всех трех измерениях или можно вообразить себе следующий единый процесс. Частица с массой 1, расположенная в центре единичной сферы, расщепляется с вероятностью на две частицы, каждая с массой расположенные на концах интервала длины Направление этого интервала может быть получено с помощью случайного процесса, скажем с помощью изотропного распределения в пространстве. Каждая из новых частиц с массой может снова независимо от другой частицы, например, с той же вероятностью подвергнуться расщеплению на две частицы с массой расположенные на концах интервала длины направление которого также случайно. Если процесс продолжается неограниченно, мы получим трехмерный аналог описанных выше множеств. [Может быть интересно добавить здесь, что вовсе не легко определить топологический характер полученного множества. Известно (Антуан что некоторые нигде не плотные множества в трехмерном пространстве при гомеоморфизмах всего этого пространства эквивалентны множествам, расположенным в одном измерении, а некоторые — нет. Вопрос, какого типа множества получаются в результате нашего процесса, не является очевидным.]

Указанный выше специальный способ построения пространства символов, отвечающих физической модели, является, может быть, простейшим способом такого рода и применяется, так сказать, к «пространству положений» частицы. Можно представить себе аналогичную конструкцию в фазовом пространстве. Не только положения, но и моменты или скорости частицы могут быть порождены процессом, подобным вышеописанному, что приводит к канторовскому множеству структур всех «возможных» значений интересующих нас физических величин. В последующем мы ограничимся исключительно пространством положений. Кроме того, мы ограничимся классическими, т. е. не релятивистскими и не квантово-теоретическими чертами таких моделей. Любая попытка более серьезно привлечь такие конструкции к физическим моделям потребует, конечно, введения такого рода построений в пространствах Минковского-Лоренца.

Мы упоминали выше некоторые из очевидных свойств множеств, полученных с помощью нашего процесса ветвления, например свойство, что эти множества будут с вероятностью 1 нигде не плотными. Получить более точную информацию о природе этих множеств кажется трудной задачей. Здесь снова обнаружилась целесообразность исследовательской вычислительной работы и были предприняты следующие серии вычислений на электронной машине. Отправляясь от исходной точки в середине интервала, процесс продолжался с использованием случайных чисел. Это значит, что было определено большое число конечных множеств, причем процесс останавливался каждый раз после получения определенного числа «поколений». Если даны вероятности то можно установить число множеств, возникающих в процессе расщепления, достаточное для статистического изучения. Если зафиксировать в нашем процессе число поколений то мы будем получать множества с различным числом точек. Затем можно подсчитать среднее значение любого данного на этом множестве функционала. (Интегрирование в пространстве всех возможных процессов ветвления заменено усреднением по фактически полученным множествам. Можно легко обосновать такое усреднение, как аппроксимацию интегрирования для различных функционалов.)

Изучались следующие функционалы:

1. Если дано множество материальных точек «в поколении», то можно вычислить его момент инерции (Центр тяжести каждой системы, как ясно из ее определения, все время остается в первоначальном положении, в точке так как каждое расщепление сохраняет центр масс.) Если мы усредним значение момента инерции по всем множествам, полученным в результате подсчета, то мы получим приближенное значение среднего момента инерции бесконечного множества.

2. Представим себе, что любые две точки множества притягивают друг друга с силой, пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния. Тогда возникает вопрос: каково значение «гравитационной собственной энергии»? Здесь снова, если мы сосчитаем это количество для каждого из наших множеств и возьмем среднее, то получим аппроксимацию среднего значения, или математического ожидания, этой величины в нашем бесконечном процессе. В трехмерном случае это значение существует.

В дополнение к определению среднего значения можно получить удовлетворительное представление о распределении значения этой собственной энергии. Конечно, чтобы точно убедиться в этом, нужно иметь большое число множеств.

3. Можно также задаться вопросом о взаимном притяжении двух систем такого рода с точками, расположенных на интервале длины 1, но отделенных друг от друга. При этом снова предполагается, что элемент одного множества притягивает любой элемент другого множества с силой, прямо пропорциональной произведению масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния.

Мотивировка для вычисления величин, подобных собственной энергии, состоит в том, что a priori ясно, что значения этих величин для наших систем будут меньше, чем их значения для соответствующих моделей в случае евклидова континуума. Эти значения могут оказаться конечными для некоторых систем нашего типа, когда в непрерывном случае получается расходимость.

Можно попробовать рассчитать процесс расщепления масс, более общий, чем описанный выше, а именно вероятности расщепления, которые мы предположим не меняющимися

от поколения к поколению и от точки к точке, можно считать зависящими от существования вблизи от данной системы другого объекта вышеуказанного типа (ср. гл. VIII, п. 7).

В самом деле, если мы предположим, что дана функция и вероятность деления частицы пропорциональна этой функции, то в результате процесса расщепления получим распределение и, которое удовлетворяет уравнению типа уравнения Шредингера

Недостатком процесса, определенного выше, является то, что в результате этого процесса остаются точки с конечной (ненулевой) массой. Если потребовать, чтобы все точки имели нулевую массу, нужно рассмотреть следующую итерацию нашего процесса. Пусть обозначает множество, полученное после первого перехода к пределу, описанного выше. Мы будем теперь итерировать этот предельный переход следующим образом: каждая из точек с отличной от нуля массой снова подвергается расщеплению на две равные массы, скажем, с той же вероятностью; но на этот раз новые массы расположены на концах интервала, который короче соответствующего интервала в первом процессе в фиксированное число раз. Например, пусть тогда, если первая единичная масса, расположенная в точке не расщепилась в результате первого процесса, она имеет вероятность расщепиться на две массы, равные но расположенные в точках — Если в первом процессе не расщепилась масса, равная расположенная в точке то во втором процессе пусть она имеет вероятность расщепиться на две массы по расположенные в точках и Перейдя к пределу во втором процессе, мы получим второе предельное множество Если в все еще имеются точки с отличными от нуля массами, мы продолжаем расщепление таких точек, уменьшая в еще большее число раз расстояние между разделившимися

массами. В результате предельного перехода получаем С вероятностью 1 последовательность этих процессов приведет к канторовскому множеству точек такому, что для индекса все точки будут иметь массу 0 и мы получим распределение плотности без конечных значений массы в отдельных точках.

Напрашивается и другое обобщение нашего процесса. В описанных выше алгоритмах объекты, получаемые с помощью ветвления, алгебраически характеризуются как действительные числа. Казалось бы, что это слишком специально. Формализм новой квантовой теории наводит на мысль рассматривать каждую из полученных точек как имеющую спинообразные свойства. Это значит, что должно быть несколько видов точек В том процессе ветвления, который мы описали в случае трехмерного пространства, в действительности так и получается.

В каждом из процессов описанного выше типа можно рассматривать меру в пространстве всех возможных исходов. Эта мера определяется естественным образом, если определить ее сначала для множества всех возможных конкретных исходов, возникающих в поколении, для Эти специальные множества отвечают элементарным интервалам в определении меры Лебега на интервале. Их мера есть вероятность появления данного специального множества событий (т. е. расщеплений и нерасщеплений) вплоть до поколения. Можно затем расширить ее обычным образом на все множества борелевского поля над этими элементарными множествами. Эта конструкция была рассмотрена для нашего простейшего процесса (построения и для -мерного процесса, т. е. для частиц типов. Может ли она быть обобщена на наш процесс типа Множество всех возможных исходов обращается после замыкания в континуум, в котором можно естественным образом определить его собственную меру. Это позволяет интегрировать функционалы по уакому множеству; например, для точек, притягивающих одна другую согласно данному закону, можно определить гравитационную собственную энергию и т. д. Затем можно проинтегрировать значение такой функции по множеству всех возможных генеалогий или исходов в смысле меры в этом пространстве. Таким образом, получается среднее значение такой величины.

Мы повторяем, что математическое изучение моделей такого рода, как предложен выше, может быть, представляет интерес благодаря тому, что развитие физических теорий в течение нескольких последних десятилетий предполагает возможность продолжения процесса «атомизации». Поочередно выступающие на первый план точки зрения «теории поля» и «элементарных частиц» представляют собой в данное время или (топологически) евклидов континуум, в котором основные математические объекты являются функциями непрерывно меняющихся величин, или частицы, «внутреннее» содержание которых далее не анализируется. Интерпретация этих «первично» малых единиц пространства развивается через следующие стадии: атом становится ядром, окруженным электронами, ядро в свою очередь выдвигает свои внутренние компоненты — нуклоны, и далее, в настоящее время, протоны и нейтроны, возможно, теряют свое право на статус «частиц», обнаруживая определенные составные элементы. Все это, так сказать, в сторону уменьшения. В то же время в направлении распределения физической вселенной в целом тоже, по-видимому, существует такой итеративный процесс: звезды оказываются собранными в скопления; скопления образуют галактики. Существуют скопления галактик, т. е. сверхгалактики, и, может быть, можно увидеть указание на то, что существует бесконечная иерархия на другом конце шкалы.

Можно сказать, что ни квантование поля, ни релятивистское квантование пространства — времени не останавливают этой тенденции последовательных моделей физической реальности заменять элементарные частицы системами все более элементарных частиц.

Поэтому, может быть, интересно вообразить такие процессы продолжающимися неограниченно и, в частности, рассмотреть случай, когда подразделение массы (или энергии) продолжается все время, не приводя необходимо в пределе к системе действительных чисел или к евклидову континууму, в котором определено данное поле. Напротив, вообще говоря, эти пределы могут приводить к схемам распределения масс, которые будут подобны канторовскому множеству и будут иметь топологию скорее -адических, чем действительных чисел. Следует повторить, что модели, которые могут, хотя бы отдаленно, претендовать на физический интерес, должны строиться скорее в пространстве — времени, чем в обычном

пространстве, и в фазовом пространстве, а не только в пространстве положений. Кажется также, что должна быть принята точка зрения квантовой теории, из которой следует, в частности, что физическое взаимодействие между двумя элементами на данной стадии процесса сильнее, чем между элементами на различных стадиях.

Можно отметить, что такая геометризация физики, если она когда-либо будет иметь место, не будет состоять только в обобщении евклидова характера расстояния в целом, что является содержанием римановой геометрии. Так как физические явления кажутся существенно изменяющими свои свойства в малом, то очевидно, что дифференцируемая метрика никогда этого не выявит. Окажется необходимым более радикальное изменение даже локальной топологии, как было указано выше. Все увеличивающиеся указания на частоту изменений того, что на данной стадии рассматривается как элементарная частица, и свойство этих частиц делиться на еще меньшие могут сделать привлекательным, по крайней мере для математика, рассмотрение моделей такого рода.