2. Сопряженные функции

Мы называем два преобразования пространетва в себя сопряженными, если существует взаимно однозначная функция такая, что Хорошо известно, что две взаимно однозначные функции отображающие абстрактное множество на себя, являются сопряженными в том и только том случае, если два разложения в циклы под

действием подобны. Это значит, что число -циклов длины I совпадает с числом циклов длины I для каждого числа В случае функций обратные к которым неоднозначны, может быть доказана подобная теорема, в которой понятие цикла заменено более общим понятием «дерева». Под деревом понимается минимальное множество которое вместе с каждой точкой х содержит ее образ и полный прообраз Дерево может быть представлено как граф, содержащий не более чем один замкнутый цикл. Различные деревья не пересекаются. Очевидно, в каком случае два дерева нужно считать принадлежащими к одному и тому же типу. Необходимым и достаточным условием того, что два преобразования переводящие абстрактное множество в себя, будут сопряженными, является одинаковое количество деревьев каждого типа у этих преобразований.

Общее исследование условий сопряженности в случае, когда данное пространство, а подчинены некоторым ограничениям, например, где требуется непрерывность по-видимому, отсутствует. В частности, мы можем поставить следующие вопросы.

Если два преобразования -мерного евклидова пространства задаются многочленами и сопряжены с помощью непрерывной функции то являются ли они сопряженными с помощью линейной функции

Если два непрерывных преобразования сопряжены с помощью борелевского преобразования , то являются ли они сопряженными с помощью непрерывного преобразования

При каких условиях гомеоморфизм сопряжен равномерно непрерывному преобразованию?

Ограничимся одномерным случаем: является ли каждая «гладкая» функция отображающая отрезок на себя (например, каждый такой многочлен), сопряженной к соответствующей кусочно-линейной функции? Например, парабола сопряжена к функции, определенной на отрезке «ломаной линией»

с помощью взаимно однозначного преобразования

Положительный отвгт на этот вопрос свел бы изучение итераций таких функций к чисто комбинаторному исследованию свойств кусочно-линейных функций.

Может быть, предпочтительнее рассматривать более слабое условие сопряженности. Мы скажем, что две функции являются асимптотически сопряженными если поведение итераций точек под действием подобно и следующем смысле: существует функция взаимно однозначно отображающая отрезок на себя, такая, что для почти каждого а из отрезка где есть множество всех точек, которые имеют одинаковое время пребывания в под действием итераццй соответствующее множество для

Справедливо ли при этом, что каждый многочлен ясимптотически сопряжен с кусочно-линейной функцией Эти задачи, конечно, не ограничиваются одномерным случаем и в действительности представляют наибольший интерес в многомерных пространствах.