11. Геометрические свойства множества всех решений некоторых уравнений

Класс всех решений линейного дифференциального уравнения образует линейное многообразие в функциональном пространстве. Мы рассматриваем здесь функции, удовлетворяющие уравнению и данным граничным условиям, как точки

в пространстве всех непрерывных и дифференцируемых функций. Что можно сказать о геометрических свойствах множества решений дифференциального уравнения, которое квадратично относительно неизвестной функции и ее производных? Если уравнение имеет вид где есть положительно определенная квадратичная форма, то множество решений обладает следующим свойством: при заданных решениях никакое другое решение не лежит внутри симплекса в функциональном пространстве, вершинами которого являются данные решений. Другими словами, множество решений лежит на пересечении выпуклых «эллипсоидальных» поверхностей. Можно ли утверждать, что многообразие решений алгебраического дифференциального уравнения образовано пересечением (возможно, бесконечно большого числа) цилиндров, каждый из которых имеет основанием конечномерное алгебраическое многообразие Это значит, что

где эти многообразия, а — линейные бесконечномерные гиперповерхности в функциональном пространстве.