2. Задачи о выпуклых телах

Мазур. В трехмерном евклидовом пространстве дано выпуклое тело и точка О внутри его. Рассмотрим множество V точек определенных условием: длина интервала равна площади плоского сечения проходящего через О перпендикулярно к Выпукло ли множество V?

Твердое тело с постоянной плотностью таково, что оно плавает в равновесии (без вращения) в воде в любой данной ориентации. Должно ли быть сферой? (В двумерном варианте этой задачи Ауэрбах [1] нашел, кроме круга, другие фигуры с требуемым свойством.) В пределе возникает следующая задача: если тело в любом положении покоится в равновесии на горизонтальной плоскости, то является ли это тело сферой?

Пусть С — звездообразная замкнутая плоская кривая, т. е. кривая, заданная полярным уравнением и предположим, что имеет непрерывную производную всюду, за исключением, может быть, конечного числа точек. Можно показать, что существует константа такая, что кривая, заданная уравнением выпукла. Аналогичное замечание применимо к -мерным поверхностям.

Предположим, что С есть пространственная кривая лежащая на поверхности звездообразной области, содержащей начало координат. При каких условиях можно расширить поверхность добавляя константу к каждому радиусу так, чтобы данная кривая С превратилась в кривую, полученную пересечением выпуклых поверхностей?