3. Движение бесконечных систем со случайным распределением

Мы предложим некоторые очень простые математические вопросы, иллюстрирующие задачи, которые возникают при изучении систем этого рода. Системы состоят из

бесконечного набора материальных точек, между которыми предполагаются некоторые взаимодействия. Такие наборы, хотя они и не конечны, не соответствуют континуумам, применяемым в настоящее время в физических теориях.

Предположим, что мы распределяем множество одинаковых точечных масс на прямой линии в целых точках 0, ±1, помещая массу в каждую точку с вероятностью и оставляя точку незаполненной с такой же вероятностью. Так как имеется очевидное взаимно однозначное соответствие между всеми возможными начальными распределениями и действительными числами отрезка [0, 1], записанными в двоичном разложении, то мы можем ввести в множестве разложений меру, например обычную лебегову меру. В дальнейшем выражение «почти все» будет пониматься в смысле этой меры. Предположим далее, что между каждыми двумя материальными точками существует притягивающая сила, обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними. Очевидно, что вследствие абсолютной сходимости соответствующего ряда этим определяется общая сила, действующая на каждую отдельную частицу. Мы постулируем также, что столкнувшиеся массы в дальнейшем не разделяются, образуя единую частицу с массой, равной сумме масс, и что момент при столкновении также сохраняется.

Для моментов времени поведение системы описано бесконечной системой уравнений Ньютона. Заметим в скобках, что разнообразные формулировки принципов механики, эквивалентные для конечных систем, в нашем случае следует различать. Так как общая масса системы бесконечна, то следует заново сформулировать обычные вариационные принципы или даже уравнения Лагранжа, чтобы прийти к недвусмысленным утверждениям.

Вопросы, которые здесь возникают, относятся к асимптотическому поведению таких систем через большие промежутки времени. Они могут быть поставлены в такой форме. Какова мера множества начальных распределений, которые имеют заданную асимптотику? В некоторых случаях ответ найден, но многие вопросы еще не решены (см. Метрополис, Улам [1]).

Положение становится, может быть, «физически» более интересным для случая двух и трех измерений. Математически

задача все еще хорошо определена. Можно считать, что для почти всякого начального распределения у каждой точечной массы существует результирующий силовой вектор сетки, если составляющие силы просуммированы по последовательным сферическим оболочкам вокруг точки, т. е. предел суммы этих сил существует для почти всех начальных распределений. Однако совпадение должно теперь пониматься в смысле гравитационного захвата, т. е. «совпавшие» точки остаются все дальнейшее время не далее чем на некотором определенном расстоянии друг от друга. Справедливо ли, что ряды сил, действующих на все массы распределения, остаются слабо сходящимися для всех если в исходный момент это условие было выполнено?

Средняя плотность нашей случайно распределенной системы частиц, понимаемая в обычном смысле, при равна Верно ли, что почти все распределения в дальнейшем сохраняют такую плотность?

В случае одного измерения будет иметься тенденция к последовательному образованию все больших конденсаций. Справедливо ли это для большего числа измерений, если под конденсацией мы понимаем систему точек, взаимные расстояния между которыми всегда остаются ограниченными? Будет ли у почти всякого распределения тенденция к образованию «галактик», «супергалактик» и т. д.?

Какие силовые поля или, что эквивалентно, какие потенциальные функции имеют то свойство, что для почти всякого начального распределения все силы остаются хорошо определенными во все дальнейшее время, если движение частиц рассчитано с помощью уравнений Ньютона и выполняются наши условия для совпадения?

Аналогичные, но более трудные задачи возникают, если мы имеем дело со счетными системами материальных точек, снова случайно распределенными в начальный момент, но без ограничения начальных положений вершинами решетки. Легко установлены при этом следующие общие свойства одномерных бесконечных систем.

1. С течением времени возникают неограниченные массы. Другими словами, при почти всяких начальных условиях, наложенных на нашу систему, для каждого будет

существовать момент такой, что после этого момента появится масса, большая

2. Всегда существуют изолированные частицы. Другими словами, для почти каждой системы и для каждого в системе будут существовать точки с массой 1.

3. Асимптотическая плотность нашей системы остается постоянной и равной исходной плотности. Мы определяем асимптотическую плотность следующим образом. Рассмотрим множество частиц, содержащееся в интервале и обозначим через общую массу частиц в этом интервале.

Предел при если он существует, называется асимптотической плотностью. Если в начальный момент массы равны 1 и случайно размещены в целочисленных точках с вероятностью то этот предел (по теореме Бернулли) равен Легко видеть, что этот предел существует и равен для всех Это вытекает из того факта, что для каждого заданного смещения всех частиц ограничены. Если мы возьмем достаточно большой интервал, то число частиц, проходящих через его концы, будет составлять произвольно малую долю от общего числа частиц, откуда и следует наше утверждение.

4. В нашей системе будут появляться произвольно большие «дыры». Это значит, что для почти каждой системы и любого будет существовать момент такой, что в этот момент найдется бесконечно много материальных точек, отделенных друг от друга интервалами, большими чем Больше того, в дальнейшие моменты времени эти длинные пустые интервалы будут продолжать существовать.

Эти утверждения легко доказать для одного измерения. Для двух или большего числа измерений частицы в общем случае не будут сталкиваться, и мы снова должны будем определить «захват», т. е. образование двойных или множественных систем. Доказать соответствующие теоремы о существовании устойчивых или полуустойчивых захватов, по-видимому, значительно труднее. Более простой аналог нашей многомерной системы получится, если приписать массам конечные размеры и затем считать возникающие столкновения

полностью неупругими и ведущими к образованию больших масс. Свойства 2 и 3 должны при этом доказываться просто.

Более интересны количественные свойства таких систем. Например, было бы интересно сосчитать, даже для одномерных систем, среднюю массу частицы из нашего бесконечного набора в данное время и определить распределение масс как функцию времени. Другой интересный вопрос относится к распределению скоростей наших частиц как функции времени (чтобы определить имеющую смысл среднюю скорость, нужно ввести «обрезанное» расстояние между двумя частицами, которые приближаются друг к другу, стремясь столкнуться; в системе, состоящей из математических точек, эти скорости при столкновении становятся сколь угодно большими). Если мы определим «обрезанное» расстояние, то средняя скорость наших частиц будет иметь зачение для всех и возникает вопрос: какова «температура» системы как функция времени?

Чтобы изучить эти и другие подобные вопросы, Джон Паста и автор проделали ряд опытов на вычислительной машине. Была сделана попытка имитировать бесконечную систему с помощью конечной, состоящей из большого числа масс, помещенных в точках регулярного подразделения интервала. При этом решение помещать или не помещать массу в каждое последовательное из возможных положений принималось «бросанием кости». Чтобы «аппроксимировать» бесконечную систему сколько-нибудь правдоподобно, две конечные точки интервала, на котором были расположены массы, следовало считать совпадающими. Другими словами, мы имели конечную систему точек на окружности или периодическую структуру, что уменьшало концевые эффекты. Ясно, что такая конечная система может имитировать бесконечную только в течение ограниченного промежутка времени. Если дана конечная система, то она со временем заведомо сольется в единственную точку, тогда как мы видели, что в бесконечной системе асимптотическая плотность остается постоянной. Поэтому для интерпретации результатов вычислений, проделанных для

конечной системы, следует проводить их только до такого момента когда система все еще содержит «много» точек. Чтобы произвести строгий анализ для изучения любых данных функционалов от распределения расстояний, масс, скоростей и т. д. в нашей системе, следует дать априорные неравенства для этого как функции для конечного числа точек мы ограничиваем время так, что интересующий нас функционал системы, сосчитанный до момента будет отличаться меньше чем на от значения этого функционала для бесконечной системы (т. е. для почти всех бесконечных систем). Было просчитано много конечных систем (т. е. мы отправлялись от многих распределений материальных точек, заданных нашим начальным случайным процессом, и в каждом случае были вычислены последующие движения в надежде на получение эвристических результатов относительно некоторых функционалов от этих систем).

Число материальных точек, из которого мы исходили, было порядка 1000. Среди вычисленных величин были распределение масс в произвольный момент распределение расстояний и т. д. Очень коротко укажем здесь на некоторые качественные факты относительно этих величин:

а) Средняя масса частицы, кажется, линейно возрастает со временем.

б) Имеется по меньшей мере подозрение, что если распределение масс частиц, существующих в момент рассматривать, приняв за единицу среднюю массу в этот момент, то это распределение стремится к фиксированной функции. Другими словами, может установиться стационарное состояние.

в) Была изучена величина, названная иерархией. Она имеет следующее индуктивное определение. Исходные частицы, по определению, имеют иерархию ранга 0. Когда сталкиваются две частицы рангов , то они образуют частицу, ранг которой равен при большему из чисел Если то ранг новой частицы равен Этот индекс дает представление о степени или иерархии набора частиц в отличие от самого роста массы благодаря соединению частиц. Средняя иерархия возрастала медленнее, чем средняя масса, но, вероятно для бесконечной системы она стремится к бесконечности.

г) Изучалась средняя кинетическая энергия как функция времени. Мы использовали при вычислении обрезание расстояний между точками, чтобы исключить сколь угодно большие скорости, возникающие перед соударением частиц. Вид этой функции неизвестен, но очевидно, что средняя энергия вначале возрастает, а затем снова начинает уменьшаться, что, конечно, происходит из-за того, что наша система неизбежно в конце концов обратится в одну большую покоящуюся частицу. Вероятно, конечные системы имитируют бесконечную только до того момента, когда эта средняя энергия перестает возрастать. Поэтому пока нельзя сделать никаких заключений об изменении «температуры» со временем.

Следует указать здесь, что тип распределения («по Бернулли»), который мы ввели в нашей вычислительной работе, мог быть с тем же успехом выбран иначе. Например, мы могли принять, что существует фиксированная вероятность найти единичную массу в интервале их, т. е. начальное случайное распределение могло быть выбрано по Пуассону. Легко видеть, что сходимость сил, действующих на каждую частицу системы, также будет иметь место для почти всех начальных условий такого вида.

Можно задать конечный интервал с бесконечным множеством точек с различными массами, так что при эти точки распределены на нем с помощью заданного случайного процесса, и затем рассмотреть последующие движения.

Можно предположить, конечно, что в начальный момент задано не только случайное распределение наших частиц на прямой или в пространстве, но что в момент существуют также начальные скорости каждой из этих частиц, заданные случайным образом, например с распределением Максвелла.