3. Некоторые опыты с конечными играми

Как известно, игра между двумя игроками может рассматриваться как протекающая по следующей схеме. Определяется комбинаторный граф, исходящий из некоторой вершины и последовательно разветвляющийся в множество сегментов. Это значит, что мы имеем сегментов, выходящих из начальной точки и отвечающих возможным ходам первого игрока. Из конца каждого из этих сегментов выходит по «2 новых сегментов (не ограничивая общности, можно предположить, что это число — одно и то же для каждого начального сегмента). Выбор между этими ходами предоставляется второму игроку. Затем мы имеем по сегментов из каждой полученной вершины и т. д. В конечной игре все оканчивается после ходов. В множестве последних вершин определено подмножество выигрывающих положений. Может быть задано другое подмножество точек, отвечающих ничейным исходам, и т. п.

Большинство игр, подобных шашкам, шахматам и т. п., может быть описано таким образом, хотя следует помнить, что то, что мы рассматриваем как положение в игре, может быть довольно сложной структурой, включающей последовательность всех предыдущих положений, и т. д.

Выигрывающая стратегия (для первого игрока) означает существование такого целого что для каждого выбора существует выбор 13 такой, что для каждого 14 и т. д. построенный элемент принадлежит к множеству На счетных машинах в Лос Аламосе были исследованы некоторые весьма простые случаи игр такого рода (Стейн и Улам [1] и Уолден [1]). Эти опыты относились к сравнению игроков разной силы, т. е. к подсчету шансов на выигрыш для игрока, применяющего совершенную стратегию, против такого, который «видит» только конечное число ходов вперед; при этом множество задано случайно.

В последнее время автор пытался найти подобные игровые формулировки в некоторых других математических

положениях. Так, например, два игрока вместо выбора интервалов, как в приведенном выше примере, могут поочередно строить две перестановки множества целых чисел. А выбирает число В выбирает вплоть до до перестановки Затем они подобным же образом строят перестановку Если порождают группу всех перестановок целых чисел, то выигрывает А, в противоположном случае выигрывает В.

В качестве «топологического» примера рассмотрим куб, разбитый на большое число меньших кубов, и одну из вершин разбиения как начальную точку. Два игрока играют следующим образом. Первый игрок выбирает ребро малого куба, выходящее из начальной точки. Второй игрок должен продолжить, выбирая любое другое ребро этого или иного малого куба, начало которого совпадает с концом предыдущего. Таким образом игроки строят путь. Через какое-то время этот путь должен пересечь себя. Если полученная таким образом замкнутая кривая имеет узлы, то выигрывает первый игрок. Другими словами, А стремится замкнуть кривую так, чтобы получился узел, второй игрок пытается распутать узел раньше, чем кривая замкнется. Очевидно, что для того, чтобы спланировать хорошую стратегию в этой игре, нужно некоторое знание топологии.

В изучении этой игры были бы полезны предварительные исследования на счетной машине, на которой можно испытывать предполагаемые стратегии.

Данные примеры приведены только как произвольные иллюстрации общей возможности обращения специальных комбинаторных исследований в игровые ситуации. Автору показалась занятной возможность «обыграть» различные математические задачи (или, может быть, глагол должен быть произведен от греческого слова - играть).