4. Гомеоморфизмы сферы

Группа гомеоморфизмов поверхности сферы 5 в трехмерном пространстве имеет две компоненты. Компонента, содержащая тождественное преобразование, образует простую группу (результат Неймана и Улама [1]). Фактически имеет место более сильная теорема: для каждых двух гомеоморфизмов поверхности отличных от тождественного, существует фиксированное число сопряженных к А гомеоморфизмов гомеоморфизм произведение которых есть В. Это число не превосходит 23. Задача об определении минимального числа, по-видимому, очень трудна.

Аналогичные теоремы для -мерной сферы, еще не доказаны. Не доказаны также теоремы о простоте группы гомеоморфизмов, составляющей компоненту тождественного преобразования для многообразий, отличных от сферы.

Недавняя работа Андерсона [1] обобщает эти результаты на группы гомеоморфизмов достаточно однородных (setwise) пространств. В частности, группы всех гомеоморфизмов канторовского множества, универсальной кривой, множества всех рациональных и множества всех иррациональных чисел являются простыми. Имеются также интересные частичные результаты о группе всех (сохраняющих ориентацию) гомеоморфизмов -мерной сферы в -мерном пространстве.

Борсук и Улам [2] рассмотрели следующий вопрос: дано произвольное замкнутое подмножество С поверхности сферы 5 в -мерном пространстве. Существует ли

последовательность гомеоморфизмов сферы на себя таких, что таких, что для каждой точки существует и принадлежит С и каждая точка множества С есть такой предел?