12. Квазигомеоморфизмы

Пусть два многообразия (т. е. топологические пространства такие, что окрестности точек гомеоморфны -мерным евклидовым сферам); мы предположим их метризованными. Назовем А к В квазигомеоморфными, если для каждого существует непрерывное отображение многообразия А на все В такое, что для каждых а, а из А, расстояние между которыми превосходит в В, и если существуют подобные преобразования многообразия В на все А.

Будут ли при этом гомеоморфны?

Эта задача была поставлена в работе Куратовского и Было бы полезно даже показать, что некоторые

общие топологические инварианты являются общими для таких квазигомеоморфных преобразований.

Таким свойством может быть, например, существование неподвижной точки при непрерывном отображении многообразия в себя. Вероятно, можно показать, что инвариантом относительно квазигомеоморфизма является существование «квазинеподвижной» точки (относительно любого конечного числа произвольных действительных непрерывных функций).